Номер 54, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

54. В правильной шестиугольной призме ABCDEF $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра равны 1.
Выразите вектор $\overline{AD_1}$ через векторы $\overline{AB}$, $\overline{AF}$ и $\overline{AA_1}$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.
Все ребра равны 1.
Базисные векторы: $\vec{AB}, \vec{AF}, \vec{AA_1}$.

Найти:

Выразить вектор $\vec{AD_1}$ через векторы $\vec{AB}, \vec{AF}$ и $\vec{AA_1}$.

Решение:

Чтобы выразить вектор $\vec{AD_1}$, представим его в виде суммы векторов по правилу многоугольника. Удобно выбрать путь из точки A в точку $D_1$ через точку D, лежащую в том же основании, что и точка A.

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Поскольку $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - это призма, все её боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, вектор бокового ребра $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$:

$\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$

Теперь необходимо выразить вектор $\vec{AD}$ через базисные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$. Оба эти вектора, а также вектор $\vec{AD}$, лежат в плоскости основания ABCDEF.

Основанием призмы является правильный шестиугольник ABCDEF. Пусть O - центр этого шестиугольника. Вектор $\vec{AD}$ является большой диагональю шестиугольника. Он проходит через центр O, и его длина вдвое больше длины отрезка AO. Векторно это записывается так:

$\vec{AD} = 2\vec{AO}$

Теперь выразим вектор $\vec{AO}$ через $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$. Для этого воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника AFO. Путь из точки A в точку O можно представить как сумму векторов по пути A → F → O:

$\vec{AO} = \vec{AF} + \vec{FO}$

В правильном шестиугольнике вектор, соединяющий вершину с центром (например, $\vec{FO}$), равен вектору, образующему одну из сторон, примыкающих к "противоположной" вершине (в данном случае, $\vec{AB}$). Геометрически отрезки FO и AB параллельны, равны по длине (так как радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне), и их направления совпадают. Таким образом:

$\vec{FO} = \vec{AB}$

Подставим это соотношение в выражение для $\vec{AO}$:

$\vec{AO} = \vec{AF} + \vec{AB}$

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{AO}$ в формулу для $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = 2\vec{AO} = 2(\vec{AF} + \vec{AB})$

Наконец, вернемся к исходному выражению для $\vec{AD_1}$ и подставим в него найденные выражения для $\vec{AD}$ и $\vec{DD_1}$:

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = 2(\vec{AF} + \vec{AB}) + \vec{AA_1}$

Раскрыв скобки, получаем окончательное выражение:

$\vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF} + \vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF} + \vec{AA_1}$.