Номер 52, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

52. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

а) $\overline{AB} + \overline{AD}$;

б) $\overline{AB_1} + \overline{AD_1}$.

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный куб. Это означает, что длина каждого его ребра равна 1.

Найти:

а) Длину вектора $\vec{AB} + \vec{AD_1}$

б) Длину вектора $\vec{AB_1} + \vec{AD_1}$

Решение:

Для решения задачи введем правую прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба:

• Ось $Ox$ вдоль ребра $AB$.
• Ось $Oy$ вдоль ребра $AD$.
• Ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Так как куб единичный, длина его ребра равна 1. Координаты вершин, которые нам понадобятся, будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(1, 0, 0)$
• $A_1(0, 0, 1)$
• $D_1(0, 1, 1)$
• $B_1(1, 0, 1)$

Найдем координаты векторов, исходящих из точки A. Координаты вектора, начало которого совпадает с началом координат, равны координатам его конца.

• $\vec{AB} = \{1-0, 0-0, 0-0\} = \{1, 0, 0\}$
• $\vec{AD_1} = \{0-0, 1-0, 1-0\} = \{0, 1, 1\}$
• $\vec{AB_1} = \{1-0, 0-0, 1-0\} = \{1, 0, 1\}$

а) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$

Чтобы найти вектор суммы, сложим соответствующие координаты исходных векторов:

$\vec{v} = \vec{AB} + \vec{AD_1} = \{1, 0, 0\} + \{0, 1, 1\} = \{1+0, 0+1, 0+1\} = \{1, 1, 1\}$

Длина вектора $\vec{v}=\{x, y, z\}$ находится по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Применим эту формулу к нашему вектору $\vec{v}=\{1, 1, 1\}$:

$|\vec{AB} + \vec{AD_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

Геометрическая интерпретация: Вектор $\vec{AD_1}$ равен вектору $\vec{BC_1}$ (так как $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ - равные грани, а векторы сонаправлены). По правилу сложения векторов (правило треугольника): $\vec{AB} + \vec{AD_1} = \vec{AB} + \vec{BC_1} = \vec{AC_1}$. Вектор $\vec{AC_1}$ — это пространственная диагональ куба. Длина пространственной диагонали единичного куба как раз равна $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) $\vec{AB_1} + \vec{AD_1}$

Сложим векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$ покоординатно:

$\vec{u} = \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = \{1, 0, 1\} + \{0, 1, 1\} = \{1+0, 0+1, 1+1\} = \{1, 1, 2\}$

Теперь найдем длину полученного вектора $\vec{u}=\{1, 1, 2\}$:

$|\vec{AB_1} + \vec{AD_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

Геометрическая интерпретация: Сумма векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$ по правилу параллелограмма равна диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. Длину этой диагонали можно найти, используя теорему косинусов для векторов: $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

В нашем случае $\vec{a} = \vec{AB_1}$ и $\vec{b} = \vec{AD_1}$. Оба вектора являются диагоналями граней куба, поэтому их длины равны: $|\vec{AB_1}| = |\vec{AD_1}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Найдем косинус угла между ними через скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{AD_1} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$.

С другой стороны, $\vec{AB_1} \cdot \vec{AD_1} = |\vec{AB_1}| \cdot |\vec{AD_1}| \cdot \cos(\alpha) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\alpha) = 2\cos(\alpha)$.

Приравнивая два выражения для скалярного произведения, получаем $2\cos(\alpha) = 1$, откуда $\cos(\alpha) = 1/2$.

Теперь подставляем все значения в формулу для квадрата длины суммы:

$|\vec{AB_1} + \vec{AD_1}|^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 2 + 2 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 + 2 + 2 = 6$.

Следовательно, длина вектора равна $\sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{6}$