Номер 57, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

57. Вычислите работу, которую производит сила $ \vec{F} = \vec{BD_1} $, перемещая объект из вершины C в вершину C₁ единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - единичный (длина ребра равна 1).
Действующая сила $\vec{F} = \vec{BD_1}$.
Перемещение объекта происходит из вершины $C$ в вершину $C_1$.

Найти:

Работу $A$, которую производит сила $\vec{F}$.

Решение:

Работа $A$ постоянной силы $\vec{F}$ при перемещении тела на вектор $\vec{s}$ вычисляется как скалярное произведение векторов силы и перемещения:

$A = \vec{F} \cdot \vec{s}$

В нашем случае сила $\vec{F} = \vec{BD_1}$, а вектор перемещения $\vec{s} = \vec{CC_1}$.

Для нахождения координат векторов введем правую прямоугольную систему координат. Совместим начало координат с вершиной $A(0, 0, 0)$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$.

Поскольку куб единичный, его ребро равно 1. Определим координаты нужных нам вершин:

$B$ (лежит на оси $Ox$): $(1, 0, 0)$
$C$ (лежит в плоскости $Oxy$): $(1, 1, 0)$
$D_1$ (смещена от $D(0,1,0)$ вверх по $Oz$): $(0, 1, 1)$
$C_1$ (смещена от $C(1,1,0)$ вверх по $Oz$): $(1, 1, 1)$

Теперь найдем координаты вектора силы $\vec{F} = \vec{BD_1}$. Для этого из координат конца вектора (точки $D_1$) вычтем координаты его начала (точки $B$):

$\vec{F} = \vec{BD_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$

Аналогично найдем координаты вектора перемещения $\vec{s} = \vec{CC_1}$:

$\vec{s} = \vec{CC_1} = (1-1, 1-1, 1-0) = (0, 0, 1)$

Теперь можем вычислить работу как скалярное произведение векторов $\vec{F}$ и $\vec{s}$:

$A = \vec{F} \cdot \vec{s} = (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$

Ответ: 1.