Номер 56, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

56. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите скалярное произведение векторов $\overline{AB_1}$ и: а) $\overline{CC_1}$; б) $\overline{CD_1}$; в) $\overline{BC_1}$; г) $\overline{BD_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, следовательно, длина его ребра $a = 1$.

Найти:

Скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AB_1} \cdot \vec{CC_1}$

б) $\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1}$

в) $\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}$

г) $\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1}$

Решение:

В выбранной системе координат найдем координаты вершин куба, необходимых для решения задачи:

$A(0, 0, 0)$

$B(1, 0, 0)$

$C(1, 1, 0)$

$D_1(0, 1, 1)$

$B_1(1, 0, 1)$

$C_1(1, 1, 1)$

Теперь найдем координаты векторов. Координаты вектора $\vec{PQ}$ с началом в точке $P(x_p, y_p, z_p)$ и концом в точке $Q(x_q, y_q, z_q)$ вычисляются по формуле $\vec{PQ} = (x_q - x_p, y_q - y_p, z_q - z_p)$.

$\vec{AB_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1)$

$\vec{CC_1} = (1-1, 1-1, 1-0) = (0, 0, 1)$

$\vec{CD_1} = (0-1, 1-1, 1-0) = (-1, 0, 1)$

$\vec{BC_1} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$

$\vec{BD_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

а) $\vec{AB_1} \cdot \vec{CC_1}$

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CC_1} = (1, 0, 1) \cdot (0, 0, 1) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

б) $\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1}$

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1} = (1, 0, 1) \cdot (-1, 0, 1) = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = -1 + 0 + 1 = 0$.

Ответ: 0

в) $\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}$

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (1, 0, 1) \cdot (0, 1, 1) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

г) $\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1}$

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1} = (1, 0, 1) \cdot (-1, 1, 1) = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -1 + 0 + 1 = 0$.

Ответ: 0