Номер 59, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

59. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, вершина А — начало координат, отрезки $AB$, $AE$, $AA_1$ лежат соответственно на осях абсцисс, ординат, аппликат. Найдите координаты вершин этой призмы.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ – правильная шестиугольная.

Длина всех ребер: 1 ед.

Вершина $A$ – начало координат $O(0,0,0)$.

Отрезок $AB$ лежит на оси абсцисс ($Ox$).

Отрезок $AE$ лежит на оси ординат ($Oy$).

Отрезок $AA_1$ лежит на оси аппликат ($Oz$).

Найти:

Координаты всех вершин призмы.

Решение:

В условии задачи содержится противоречие. В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Угол между стороной $AB$ и диагональю $AE$ в таком шестиугольнике составляет $\angle BAE = 120^\circ$. Оси координат $Ox$ (абсцисс) и $Oy$ (ординат) взаимно перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, отрезки $AB$ и $AE$ не могут одновременно лежать на осях абсцисс и ординат.

Для решения задачи предположим, что условие о расположении отрезка $AE$ на оси ординат является опечаткой, и будем исходить из остальных данных. Разместим призму в декартовой системе координат следующим образом:

1. Вершина $A$ находится в начале координат, т.е. $A(0, 0, 0)$.

2. Ребро $AA_1$ лежит на оси аппликат ($Oz$). Так как длина ребра равна 1, то координаты вершины $A_1$ будут $(0, 0, 1)$.

3. Основание $ABCDEF$ лежит в плоскости $z=0$ ($Oxy$).

4. Ребро $AB$ лежит на оси абсцисс ($Ox$). Так как его длина равна 1, то координаты вершины $B$ будут $(1, 0, 0)$.

Найдем координаты остальных вершин основания $ABCDEF$, которое является правильным шестиугольником со стороной 1. Для определенности разместим шестиугольник в полуплоскости, где $y \ge 0$.

Координаты вершин нижнего основания:

• Вершина $A$: $A(0, 0, 0)$ по условию.

• Вершина $B$: $B(1, 0, 0)$ по построению.

• Вершина $C$: Вектор $\vec{BC}$ получается поворотом вектора $\vec{AB}=(1, 0, 0)$ на угол $60^\circ$ против часовой стрелки (так как внутренний угол шестиугольника $120^\circ$, а смежный с ним $60^\circ$). Координаты вектора $\vec{BC}$ равны $(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ)) = (1/2, \sqrt{3}/2)$. Координаты точки $C$ находим, прибавив к координатам точки $B$ координаты вектора $\vec{BC}$: $C(1 + 1/2, 0 + \sqrt{3}/2, 0) = C(3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

• Вершина $D$: В правильном шестиугольнике диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$ и вдвое длиннее ее. Однако проще найти координаты $D$ через центр шестиугольника $O_c$. Центр $O_c$ равностороннего треугольника $O_cAB$ имеет координаты $(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Точка $D$ симметрична точке $A$ относительно центра $O_c$. Её координаты: $D = 2 \cdot O_c - A = 2 \cdot (1/2, \sqrt{3}/2, 0) - (0, 0, 0) = D(1, \sqrt{3}, 0)$.

• Вершина $E$: Точка $E$ симметрична точке $B$ относительно центра $O_c$: $E = 2 \cdot O_c - B = (1, \sqrt{3}, 0) - (1, 0, 0) = E(0, \sqrt{3}, 0)$.

• Вершина $F$: Точка $F$ симметрична точке $C$ относительно центра $O_c$: $F = 2 \cdot O_c - C = (1, \sqrt{3}, 0) - (3/2, \sqrt{3}/2, 0) = F(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Координаты вершин верхнего основания ($A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$) получаются путем сдвига соответствующих вершин нижнего основания на вектор $\vec{AA_1}=(0, 0, 1)$.

• Вершина $A_1$: $A_1(0, 0, 1)$.

• Вершина $B_1$: $B_1(1, 0, 1)$.

• Вершина $C_1$: $C_1(3/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

• Вершина $D_1$: $D_1(1, \sqrt{3}, 1)$.

• Вершина $E_1$: $E_1(0, \sqrt{3}, 1)$.

• Вершина $F_1$: $F_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Ответ:

Координаты вершин призмы:

Нижнее основание: $A(0; 0; 0)$, $B(1; 0; 0)$, $C(3/2; \sqrt{3}/2; 0)$, $D(1; \sqrt{3}; 0)$, $E(0; \sqrt{3}; 0)$, $F(-1/2; \sqrt{3}/2; 0)$.

Верхнее основание: $A_1(0; 0; 1)$, $B_1(1; 0; 1)$, $C_1(3/2; \sqrt{3}/2; 1)$, $D_1(1; \sqrt{3}; 1)$, $E_1(0; \sqrt{3}; 1)$, $F_1(-1/2; \sqrt{3}/2; 1)$.