Задания, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам

Из определения призмы можно получить следующие ее свойства:

1) боковые ребра равны;

2) основания равны и параллельны.

Докажите эти свойства самостоятельно

Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам

Решение

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Введем систему координат с началом в вершине $A$. Обозначим векторы, исходящие из этой вершины вдоль ребер: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Положение любой вершины параллелепипеда можно выразить через эти три вектора. Положение (радиус-вектор) точки $M$ будем обозначать как $\vec{r_M}$. Тогда радиус-векторы вершин будут:
$\vec{r_A} = \vec{0}$
$\vec{r_B} = \vec{a}$
$\vec{r_D} = \vec{b}$
$\vec{r_{A_1}} = \vec{c}$
$\vec{r_C} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$
$\vec{r_{B_1}} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
$\vec{r_{D_1}} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{b} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{r_{C_1}} = \vec{AC} + \vec{CC_1} = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Параллелепипед имеет четыре диагонали: $AC_1$, $BD_1$, $A_1C$ и $B_1D$. Найдем радиус-векторы середин каждой из этих диагоналей. Середина отрезка $PQ$ имеет радиус-вектор $\vec{r_M} = \frac{1}{2}(\vec{r_P} + \vec{r_Q})$.

1. Середина диагонали $AC_1$: $\vec{r_{M_1}} = \frac{1}{2}(\vec{r_A} + \vec{r_{C_1}}) = \frac{1}{2}(\vec{0} + (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

2. Середина диагонали $BD_1$: $\vec{r_{M_2}} = \frac{1}{2}(\vec{r_B} + \vec{r_{D_1}}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

3. Середина диагонали $A_1C$: $\vec{r_{M_3}} = \frac{1}{2}(\vec{r_{A_1}} + \vec{r_C}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + (\vec{a} + \vec{b})) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

4. Середина диагонали $B_1D$: $\vec{r_{M_4}} = \frac{1}{2}(\vec{r_{B_1}} + \vec{r_D}) = \frac{1}{2}((\vec{a} + \vec{c}) + \vec{b}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Поскольку радиус-векторы середин всех четырех диагоналей одинаковы, это означает, что все они имеют общую середину. Следовательно, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую из них пополам.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1) боковые ребра равны

Решение

По определению, призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами.

Пусть дана n-угольная призма $A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$, где $A_1A_2...A_n$ и $B_1B_2...B_n$ — основания. Боковыми ребрами являются отрезки $A_1B_1, A_2B_2, ..., A_nB_n$. Боковыми гранями являются параллелограммы $A_1A_2B_2B_1$, $A_2A_3B_3B_2$ и т.д.

Рассмотрим боковую грань $A_1A_2B_2B_1$. Так как это параллелограмм, его противоположные стороны равны. В частности, боковое ребро $A_1B_1$ равно боковому ребру $A_2B_2$.

Рассмотрим следующую боковую грань $A_2A_3B_3B_2$. Это также параллелограмм, поэтому $A_2B_2 = A_3B_3$.

Продолжая этот процесс для всех боковых граней, получаем цепочку равенств: $A_1B_1 = A_2B_2 = A_3B_3 = ... = A_nB_n$.

Таким образом, все боковые ребра призмы равны между собой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) основания равны и параллельны

Решение

Данное свойство является частью определения призмы в большинстве учебников: "Призма — это многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях". Однако это свойство можно вывести из другого, более конструктивного определения призмы.

Определим призму как геометрическое тело, образованное в результате параллельного переноса плоского многоугольника $P$ (основания) в пространстве на вектор $\vec{v}$, не параллельный плоскости этого многоугольника.

Параллельность оснований. Пусть многоугольник $P$ лежит в плоскости $\alpha$. Параллельный перенос — это преобразование, которое переводит любую плоскость в параллельную ей плоскость. Следовательно, второе основание призмы, многоугольник $P'$, являющийся образом $P$ при переносе, будет лежать в плоскости $\beta$, параллельной плоскости $\alpha$.

Равенство (конгруэнтность) оснований. Параллельный перенос является движением (изометрией). Движение сохраняет расстояния между точками и, как следствие, углы между отрезками. Это означает, что многоугольник-образ $P'$ будет конгруэнтен (равен) исходному многоугольнику $P$.

Таким образом, из конструктивного определения призмы следует, что ее основания равны и лежат в параллельных плоскостях.

Ответ: Что и требовалось доказать.