Номер 64, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

64. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами $(1; 0; 0)$, $(0; 2; 0)$, $(0; 0; 3)$.

Дано:

Три точки, через которые проходит плоскость:

$M_1(1; 0; 0)$

$M_2(0; 2; 0)$

$M_3(0; 0; 3)$

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, можно воспользоваться условием компланарности (принадлежности одной плоскости) векторов. Возьмем произвольную точку $M(x, y, z)$, принадлежащую плоскости, и составим три вектора: $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$. Эти векторы должны лежать в одной плоскости, а значит, их смешанное произведение равно нулю.

Найдем координаты векторов:

$\vec{M_1M} = (x - x_1, y - y_1, z - z_1) = (x - 1, y - 0, z - 0) = (x - 1, y, z)$

$\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (0 - 1, 2 - 0, 0 - 0) = (-1, 2, 0)$

$\vec{M_1M_3} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) = (0 - 1, 0 - 0, 3 - 0) = (-1, 0, 3)$

Условие компланарности векторов выражается через равенство нулю определителя, составленного из их координат:

$\begin{vmatrix}x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1\end{vmatrix}= 0$

Подставим координаты наших векторов в определитель:

$\begin{vmatrix}x - 1 & y & z \\-1 & 2 & 0 \\-1 & 0 & 3\end{vmatrix}= 0$

Раскроем определитель по первой строке:

$(x - 1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - y \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + z \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$(x - 1) \cdot (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0) - y \cdot ((-1) \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) + z \cdot ((-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1)) = 0$

$(x - 1) \cdot 6 - y \cdot (-3) + z \cdot 2 = 0$

$6x - 6 + 3y + 2z = 0$

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$:

$6x + 3y + 2z - 6 = 0$

Дополнительное замечание: Поскольку данные точки являются точками пересечения плоскости с осями координат, можно было использовать уравнение плоскости "в отрезках": $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, где $a=1$, $b=2$, $c=3$.

$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$

Умножив обе части на 6, получим тот же результат: $6x + 3y + 2z = 6$ или $6x + 3y + 2z - 6 = 0$.

Ответ: $6x + 3y + 2z - 6 = 0$.