Номер 58, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

58. Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ помещен в прямоугольную систему координат так, что началом координат является вершина $D$, ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат соответственно на осях абсцисс, ординат, аппликат. Найдите координаты всех вершин куба.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, то есть длина его ребра равна 1.
Вершина $D$ совпадает с началом прямоугольной системы координат $O(0, 0, 0)$.
Ребро $DC$ лежит на оси абсцисс (ось $Ox$).
Ребро $DA$ лежит на оси ординат (ось $Oy$).
Ребро $DD_1$ лежит на оси аппликат (ось $Oz$).

Найти:

Координаты всех вершин куба: $A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$.

Решение:

Поскольку куб является единичным, длина каждого его ребра равна 1. Определим координаты каждой вершины, исходя из заданного расположения куба в прямоугольной системе координат.

Вершина $D$ по условию находится в начале координат, следовательно, её координаты: $D(0, 0, 0)$.

Вершины $A, C$ и $D_1$ соединены с вершиной $D$ рёбрами, лежащими на осях координат. Так как длина ребра равна 1, их координаты определяются следующим образом:
- Вершина $C$ лежит на оси абсцисс ($Ox$), следовательно, её координаты $C(1, 0, 0)$.
- Вершина $A$ лежит на оси ординат ($Oy$), следовательно, её координаты $A(0, 1, 0)$.
- Вершина $D_1$ лежит на оси аппликат ($Oz$), следовательно, её координаты $D_1(0, 0, 1)$.

Остальные вершины находятся как комбинации этих базовых смещений от начала координат.

Вершина $B$ находится в плоскости $xOy$ ($z=0$) и замыкает квадрат основания $ABCD$. Её положение определяется смещением на 1 по оси $Ox$ (как у точки $C$) и на 1 по оси $Oy$ (как у точки $A$). Таким образом, её координаты: $B(1, 1, 0)$.

Вершины $A_1, B_1, C_1$ образуют верхнюю грань куба. Они смещены относительно вершин $A, B, C$ на 1 единицу вдоль оси $Oz$ (то есть на вектор $\vec{DD_1}=(0,0,1)$).
- Координаты $A_1$ получаются смещением точки $A$: $A_1(0, 1, 0+1) = A_1(0, 1, 1)$.
- Координаты $C_1$ получаются смещением точки $C$: $C_1(1, 0, 0+1) = C_1(1, 0, 1)$.
- Координаты $B_1$ получаются смещением точки $B$: $B_1(1, 1, 0+1) = B_1(1, 1, 1)$.

Ответ:

$A(0, 1, 0)$
$B(1, 1, 0)$
$C(1, 0, 0)$
$D(0, 0, 0)$
$A_1(0, 1, 1)$
$B_1(1, 1, 1)$
$C_1(1, 0, 1)$
$D_1(0, 0, 1)$