Номер 53, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

53. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ выразите вектор $\vec{AC_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Базисные векторы: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$.

Найти:

Выразить вектор $\vec{AC_1}$ через базисные векторы.

Решение:

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AC_1}$, который является главной диагональю куба, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника). Вектор $\vec{AC_1}$ можно представить как сумму векторов, образующих ломаную линию от точки $A$ до точки $C_1$.

Рассмотрим путь из точки $A$ в точку $C_1$ через вершины $C$ и $C_1$. По правилу треугольника для сложения векторов, имеем:

$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

Теперь необходимо выразить каждый из векторов в правой части равенства ($\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$) через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания куба — квадрата $ABCD$. По правилу параллелограмма (или правилу треугольника для пути $A \rightarrow B \rightarrow C$), вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Поскольку $ABCD$ — грань куба (квадрат), его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие этим сторонам и имеющие одинаковое направление, равны. Таким образом, $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Подставим это в выражение для $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

2. Вектор $\vec{CC_1}$ — это боковое ребро куба, которое соединяет нижнее и верхнее основания. Все боковые ребра куба параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$:

$\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$

3. Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$ в исходное равенство для $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC_1} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{AA_1}$

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Полученное выражение является векторным представлением диагонали куба (и любого параллелепипеда) через три некомпланарных вектора, выходящих из одной вершины и направленных вдоль его ребер.

Ответ: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.