Страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

40. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой:

а) $A_1D_1$;

б) $A_1C_1$.

Дано:
Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$
Ребро куба $a = 1$ (единичный куб)

Найти:
а) Расстояние от точки B до прямой $A_1D_1$, обозначаемое как $ \rho(B, A_1D_1) $
б) Расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$, обозначаемое как $ \rho(B, A_1C_1) $

Решение:

а) A₁D₁
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
Рассмотрим ребро $A_1D_1$. Оно принадлежит грани $A_1B_1C_1D_1$ и грани $AA_1D_1D$.
По свойству куба, ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$, а значит и любой прямой в этой плоскости, следовательно, $A_1A \perp A_1D_1$.
Также, в квадрате $A_1B_1C_1D_1$ стороны перпендикулярны, значит $A_1B_1 \perp A_1D_1$.
Прямые $A_1A$ и $A_1B_1$ пересекаются в точке $A_1$ и лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$.
Поскольку прямая $A_1D_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A_1A$ и $A_1B_1$) в плоскости $ABB_1A_1$, она перпендикулярна всей этой плоскости.
Точка $B$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$. Так как прямая $A_1D_1$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$ и проходит через точку $A_1$ этой плоскости, то отрезок $BA_1$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на прямую $A_1D_1$. Его длина и есть искомое расстояние.
Отрезок $BA_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. Так как $ABB_1A_1$ — это квадрат со стороной 1, то по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABA_1$ (с прямым углом $\angle A_1AB$):
$BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

б) A₁C₁
Чтобы найти расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$, рассмотрим треугольник $BA_1C_1$. Искомое расстояние будет равно высоте этого треугольника, проведенной из вершины B к стороне $A_1C_1$.
Найдем длины сторон этого треугольника:
• Сторона $A_1C_1$ — это диагональ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Эта грань — квадрат со стороной 1. Длина диагонали: $A_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
• Сторона $BA_1$ — это диагональ боковой грани $ABB_1A_1$. Эта грань — квадрат со стороной 1. Длина диагонали: $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
• Сторона $BC_1$ — это диагональ боковой грани $BCC_1B_1$. Эта грань — квадрат со стороной 1. Длина диагонали: $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Все три стороны треугольника $BA_1C_1$ равны $\sqrt{2}$. Следовательно, треугольник $BA_1C_1$ является равносторонним.
Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
В нашем случае сторона $a = \sqrt{2}$. Подставим это значение в формулу:
$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Это и есть искомое расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

41. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1.

Найдите расстояние от точки B до прямой:
а) $AC$;
б) $A_1C_1$.

Дано:
Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Все ребра равны 1, т.е. $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Данные в системе СИ не требуют перевода, так как являются безразмерными величинами.

Найти:
а) Расстояние от точки B до прямой $AC_1$, обозначим $d(B, AC_1)$.
б) Расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$, обозначим $d(B, A_1C_1)$.

Решение:

а) Расстояние от точки B до прямой $AC_1$ — это длина высоты, опущенной из вершины B на сторону $AC_1$ в треугольнике $BAC_1$. Найдем стороны этого треугольника.
1. Сторона $AB$ является ребром призмы, поэтому $AB = 1$.
2. Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $AA_1C_1C$. Эта грань — квадрат со стороной 1, так как призма правильная и все ребра равны 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$:
$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$AC_1 = \sqrt{2}$
3. Сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани $BB_1C_1C$. Эта грань также является квадратом со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:
$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$BC_1 = \sqrt{2}$
Таким образом, треугольник $BAC_1$ имеет стороны $AB=1$, $AC_1=\sqrt{2}$, $BC_1=\sqrt{2}$. Треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами $AC_1$ и $BC_1$.
Чтобы найти искомое расстояние (высоту $h_B$ из вершины B к стороне $AC_1$), применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle AC_1B$. Обозначим этот угол как $\gamma$.
$AB^2 = AC_1^2 + BC_1^2 - 2 \cdot AC_1 \cdot BC_1 \cdot \cos(\gamma)$
$1^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\gamma)$
$1 = 2 + 2 - 4 \cos(\gamma)$
$1 = 4 - 4 \cos(\gamma)$
$4 \cos(\gamma) = 3 \implies \cos(\gamma) = \frac{3}{4}$
Теперь найдем синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$ (для угла треугольника синус положителен):
$\sin(\gamma) = \sqrt{1 - \cos^2(\gamma)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$
Расстояние от точки B до прямой $AC_1$ — это высота $h_B$, которую можно найти как катет в прямоугольном треугольнике, противолежащий углу $\gamma$ и с гипотенузой $BC_1$.
$h_B = BC_1 \cdot \sin(\gamma) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{4}$

б) Расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую $A_1C_1$. Обозначим этот перпендикуляр $BH$, где точка $H$ лежит на прямой $A_1C_1$.
Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Точка B лежит в плоскости нижнего основания $ABC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BB_1H'$, где $H'$ — это проекция точки $H$ на плоскость нижнего основания. Так как $A_1C_1$ параллельна $AC$, то $H'$ будет лежать на прямой $AC$. Однако проще рассмотреть треугольник $BB_1H$.
Проведем $B_1K$ — высоту в треугольнике $A_1B_1C_1$ из вершины $B_1$ к стороне $A_1C_1$. Тогда $K$ и есть точка $H$, ближайшая к $B_1$ на прямой $A_1C_1$.
Рассмотрим треугольник $BB_1K$. $BB_1$ — боковое ребро, перпендикулярное основанию, значит $BB_1 \perp B_1K$. Следовательно, треугольник $BB_1K$ — прямоугольный.
Искомое расстояние $BK$ является гипотенузой в этом треугольнике. По теореме Пифагора: $BK^2 = BB_1^2 + B_1K^2$.
Катет $BB_1$ — это высота призмы, $BB_1 = 1$.
Катет $B_1K$ — это высота в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ со стороной $a=1$.
Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$B_1K = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь можем найти искомое расстояние $BK$:
$BK^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
$BK = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$

42. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости:
а) $ACC_1$;
б) $ACB_1$.

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный.
Длина ребра $a = 1$.

a) Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$, обозначим его $\rho(B, (ACC_1))$.
б) Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$, обозначим его $\rho(B, (ACB_1))$.

а) Плоскость $ACC_1$ является диагональной плоскостью куба, которая также содержит точки $A$ и $A_1$ ($ACC_1A_1$). Эта плоскость перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на эту плоскость.
Рассмотрим основание куба — квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и взаимно перпендикулярны ($BO \perp AC$).
Поскольку прямая $BO$ лежит в плоскости $ABCD$, а плоскость $ABCD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$, и $BO$ перпендикулярна их линии пересечения $AC$, то прямая $BO$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1$.
Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $BO$.
Длина диагонали квадрата $ABCD$ со стороной 1 равна $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, то $BO = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Для нахождения расстояния от точки $B$ до плоскости $ACB_1$ воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр $ABCB_1$.
С одной стороны, объем тетраэдра можно вычислить, приняв за основание треугольник $ABC$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным ($\angle ABC = 90^\circ$) с катетами $AB = 1$ и $BC = 1$. Его площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Высотой, опущенной на это основание из вершины $B_1$, является ребро $BB_1 = 1$.
Объем тетраэдра: $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot BB_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}$.
С другой стороны, тот же объем можно выразить через основание $ACB_1$ и высоту $h$, опущенную на него из вершины $B$. Эта высота $h$ и есть искомое расстояние.
Найдем площадь треугольника $ACB_1$. Его стороны $AC$, $CB_1$ и $AB_1$ являются диагоналями граней единичного куба. Длина диагонали грани куба со стороной 1 равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Следовательно, $AC = CB_1 = AB_1 = \sqrt{2}$, и треугольник $ACB_1$ — равносторонний со стороной $s=\sqrt{2}$.
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{ACB_1} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Приравняем выражения для объема: $V = \frac{1}{3} S_{ACB_1} \cdot h$.
$\frac{1}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h$
$\frac{1}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6} h$
Отсюда находим высоту $h$: $h = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

43. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра равны 1. Найдите расстояние от вершины B до плоскости:

а) $ACC_1$;

б) $CDD_1$;

в) $DEE_1$;

г) $DFF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер равна 1. То есть, сторона основания $a=1$ и боковое ребро (высота) $h=1$.

Найти:

Расстояние от вершины B до плоскостей:

а) $ACC_1$

б) $CDD_1$

в) $DEE_1$

г) $DFF_1$

Решение:

Основания призмы $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильные шестиугольники. Призма является прямой, так как она правильная. Это означает, что боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Плоскости $ACC_1$, $CDD_1$, $DEE_1$ и $DFF_1$ являются боковыми гранями или сечениями, проходящими через боковые ребра ($CC_1$, $DD_1$ и т.д.). Все эти плоскости перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$.

Следовательно, расстояние от точки $B$, лежащей в плоскости основания, до каждой из этих вертикальных плоскостей равно расстоянию от точки $B$ до прямой, по которой данная плоскость пересекает плоскость основания $ABCDEF$.

а) $ACC_1$

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $AC$ в плоскости основания. Рассмотрим треугольник $ABC$. В правильном шестиугольнике все стороны равны 1, а внутренние углы равны $120^\circ$.

Таким образом, в треугольнике $ABC$ имеем $AB=BC=1$ и $\angle ABC = 120^\circ$.

Искомое расстояние — это длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$.

Найдем площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Теперь найдем длину стороны $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$

Площадь треугольника также можно выразить через высоту $BH$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

Отсюда находим высоту $BH$:

$BH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{AC} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/4)}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $CDD_1$

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CDD_1$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $CD$. Рассмотрим треугольник $BCD$.

В правильном шестиугольнике $BC=CD=1$ и $\angle BCD = 120^\circ$.

Искомое расстояние — это длина высоты, опущенной из вершины $B$ на прямую $CD$.

Найдем площадь треугольника $BCD$:

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Площадь треугольника также равна половине произведения основания на высоту. Примем за основание сторону $CD=1$.

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_B$

Отсюда находим высоту $h_B$:

$h_B = \frac{2 \cdot S_{BCD}}{CD} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/4)}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $DEE_1$

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $DE$.

В правильном шестиугольнике сторона $AB$ параллельна стороне $DE$. Поэтому расстояние от точки $B$ до прямой $DE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $DE$.

Это расстояние равно сумме высот двух равносторонних треугольников $OAB$ и $ODE$ (где $O$ — центр шестиугольника), опущенных из общего центра $O$ на стороны $AB$ и $DE$. Высота такого равностороннего треугольника со стороной 1 (апофема шестиугольника) равна:

$m = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Расстояние между $AB$ и $DE$ равно $2m$.

$d = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

г) $DFF_1$

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DFF_1$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $DF$. Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Поместим центр основания шестиугольника в начало координат $O(0,0)$. Тогда вершины будут иметь следующие координаты:

$B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $D(-1, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Составим уравнение прямой, проходящей через точки $D$ и $F$.

Уравнение прямой: $\frac{x - x_D}{x_F - x_D} = \frac{y - y_D}{y_F - y_D}$

$\frac{x - (-1)}{1/2 - (-1)} = \frac{y - 0}{-\sqrt{3}/2 - 0}$

$\frac{x + 1}{3/2} = \frac{y}{-\sqrt{3}/2}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}(x+1) = \frac{3}{2}y$

$-\sqrt{3}(x+1) = 3y$

$\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3} = 0$, или, разделив на $\sqrt{3}$: $x + \sqrt{3}y + 1 = 0$

Теперь найдем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ до прямой $x + \sqrt{3}y + 1 = 0$ по формуле расстояния от точки до прямой $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$:

$d = \frac{|\frac{1}{2} + \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1|}{\sqrt{1+3}} = \frac{|2+1|}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

44. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1. Найдите расстояние между плоскостями:

а) $ABB_1$ и $DEE_1$;

б) $ACC_1$ и $FDD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер равна 1.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро (высота) $h = 1$.

Найти:

a) Расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $DEE_1$.

б) Расстояние между плоскостями $ACC_1$ и $FDD_1$.

Решение:

а) $ABB_1$ и $DEE_1$

Плоскости $ABB_1$ и $DEE_1$ являются боковыми гранями призмы. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны, следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $DE$ ($AB \parallel DE$).

Так как призма правильная, она является прямой, и все ее боковые ребра перпендикулярны основаниям и параллельны друг другу. Значит, $BB_1 \parallel EE_1$.

Поскольку две пересекающиеся прямые ($AB$ и $BB_1$) одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($DE$ и $EE_1$) другой плоскости, то плоскости $(ABB_1)$ и $(DEE_1)$ параллельны.

Расстояние между этими параллельными плоскостями равно расстоянию между прямыми $AB$ и $DE$ в плоскости основания. Это расстояние равно удвоенной длине апофемы правильного шестиугольника (расстоянию от центра до стороны).

Апофема $r$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

По условию $a=1$, поэтому апофема равна $r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Искомое расстояние $d_1$ равно $2r$:

$d_1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) $ACC_1$ и $FDD_1$

Плоскости $ACC_1$ и $FDD_1$ являются диагональными сечениями призмы. Рассмотрим диагонали $AC$ и $FD$ в основании $ABCDEF$.

В правильном шестиугольнике диагонали $AC$ и $FD$ параллельны и равны. Это можно доказать, рассмотрев четырехугольник $ACDF$. В нем стороны $AF$ и $CD$ параллельны (как стороны трапеции $AFDC$) и равны стороне шестиугольника ($AF=CD=1$). Следовательно, $ACDF$ — параллелограмм, а значит $AC \parallel FD$.

Боковые ребра $CC_1$ и $DD_1$ параллельны ($CC_1 \parallel DD_1$). Так как две пересекающиеся прямые ($AC$ и $CC_1$) одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым ($FD$ и $DD_1$) другой, то плоскости $(ACC_1)$ и $(FDD_1)$ параллельны.

Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между параллельными прямыми $AC$ и $FD$ в плоскости основания.

Найдем это расстояние. Пусть $O$ — центр шестиугольника. Расстояние между $AC$ и $FD$ равно сумме расстояний от центра $O$ до каждой из этих прямых, так как они лежат по разные стороны от центра.

Рассмотрим треугольник $OAC$. Стороны $OA$ и $OC$ равны радиусу описанной окружности, который для правильного шестиугольника равен его стороне, то есть $OA = OC = a = 1$.

Длину диагонали $AC$ найдем из треугольника $ABC$ по теореме косинусов. В правильном шестиугольнике внутренний угол равен $120^\circ$, поэтому $\angle ABC = 120^\circ$.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.

Отсюда $AC = \sqrt{3}$.

Расстояние от центра $O$ до прямой $AC$ — это высота $OM$ равнобедренного треугольника $OAC$, опущенная на основание $AC$. В прямоугольном треугольнике $OAM$ (где $M$ — середина $AC$):

$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

В силу симметрии шестиугольника, расстояние от центра $O$ до прямой $FD$ также равно $\frac{1}{2}$.

Искомое расстояние $d_2$ равно сумме расстояний от центра до каждой прямой:

$d_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$

45. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны $1$.

Найдите угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

Дано:

$SABCD$ - правильная четырехугольная пирамида.
Все ребра равны 1, то есть: $AB = BC = CD = DA = 1$ (ребра основания) и $SA = SB = SC = SD = 1$ (боковые ребра).

Найти:

Угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

В основании правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$. Вершина $S$ проецируется в центр основания — точку $O$, которая является точкой пересечения диагоналей квадрата. Таким образом, отрезок $SO$ является высотой пирамиды и перпендикулярен плоскости основания $ABC$.

Найдем проекцию прямой $SB$ на плоскость $ABC$.

1. Проекцией точки $S$ на плоскость $ABC$ является точка $O$.

2. Точка $B$ уже лежит в плоскости $ABC$, поэтому ее проекция — это сама точка $B$.

Следовательно, проекцией прямой $SB$ на плоскость $ABC$ является прямая $OB$. Искомый угол — это угол между прямой $SB$ и ее проекцией $OB$, то есть угол $\angle SBO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SBO$. Поскольку $SO$ — высота пирамиды, она перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, проходящей через точку $O$. Значит, $SO \perp OB$, и треугольник $\triangle SBO$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SOB$.

Для нахождения угла $\angle SBO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SBO$ нам нужно знать длины как минимум двух его сторон.

1. Длина гипотенузы $SB$. По условию, все ребра пирамиды равны 1, значит $SB = 1$.

2. Длина катета $OB$. Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$, следовательно, $OB$ — это половина диагонали $BD$. Найдем длину диагонали $BD$ из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$ по теореме Пифагора: $BD^2 = AB^2 + AD^2$ $BD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ $BD = \sqrt{2}$

Тогда $OB = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь мы можем найти косинус угла $\angle SBO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SBO$: $\cos(\angle SBO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OB}{SB}$ $\cos(\angle SBO) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$. Таким образом, искомый угол $\angle SBO = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

46. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2. Найдите угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

Дано:

SABCDEF – правильная шестиугольная пирамида.

Стороны основания $AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$.

Боковые ребра $SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$.

Найти:

Угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

В нашем случае прямая – это боковое ребро $SB$, а плоскость – это плоскость основания $ABC$, которая совпадает с плоскостью всего шестиугольника $ABCDEF$.

Поскольку пирамида $SABCDEF$ является правильной, её вершина $S$ проецируется в центр основания. Обозначим центр основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) точкой $O$. Таким образом, $SO$ – это высота пирамиды, и отрезок $SO$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$.

Проекцией точки $S$ на плоскость $ABC$ является точка $O$. Точка $B$ уже лежит в плоскости $ABC$, поэтому её проекция – это сама точка $B$.

Следовательно, проекцией наклонной $SB$ на плоскость $ABC$ является отрезок $OB$.

Искомый угол – это угол между наклонной $SB$ и её проекцией $OB$, то есть угол $\angle SBO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SBO$. Поскольку $SO$ – перпендикуляр к плоскости основания, то $SO \perp OB$. Значит, треугольник $\triangle SBO$ – прямоугольный, с прямым углом при вершине $O$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной 1. Расстояние от центра правильного шестиугольника до любой его вершины равно длине его стороны. Следовательно, длина отрезка $OB$ равна стороне основания:

$OB = 1$

По условию, длина бокового ребра $SB$ равна 2. В прямоугольном треугольнике $\triangle SBO$ отрезок $SB$ является гипотенузой, а $OB$ – катетом.

Найдём косинус искомого угла $\angle SBO$ как отношение прилежащего катета $OB$ к гипотенузе $SB$:

$\cos(\angle SBO) = \frac{OB}{SB} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

47. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите угол между плоскостями:

a) $ABB_1$ и $BCC_1$;

б) $ABB_1$ и $ACC_1$;

в) $ACC_1$ и $CDD_1$;

г) $ACC_1$ и $BEE_1$.

48. Найдите

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.
Все ребра равны 1, т.е. $AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$ и $AA_1 = BB_1 = \dots = FF_1 = 1$.

Найти:

Углы между плоскостями:
а) $ABB_1$ и $BCC_1$
б) $ABB_1$ и $ACC_1$
в) $ACC_1$ и $CDD_1$
г) $ACC_1$ и $BEE_1$

Решение:

Основание призмы $ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной 1. Призма является правильной, следовательно, она прямая, и ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Все боковые грани являются квадратами. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$.

а) $ABB_1$ и $BCC_1$

Плоскости $ABB_1$ и $BCC_1$ — это две смежные боковые грани призмы. Они пересекаются по общему боковому ребру $BB_1$. Так как призма прямая, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $BB_1 \perp AB$ и $BB_1 \perp BC$. Линия $AB$ лежит в плоскости $ABB_1$, а линия $BC$ — в плоскости $BCC_1$. Обе эти линии перпендикулярны ребру пересечения $BB_1$ и проходят через одну точку $B$. Следовательно, угол между плоскостями равен углу между этими линиями, то есть $\angle ABC$. Угол $\angle ABC$ является внутренним углом правильного шестиугольника, поэтому $\angle ABC = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

б) $ABB_1$ и $ACC_1$

Плоскость $ABB_1$ — это боковая грань, а плоскость $ACC_1$ — это диагональная плоскость. Они пересекаются по общему боковому ребру $AA_1$. Так как призма прямая, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AC$. Линия $AB$ лежит в плоскости $ABB_1$, а линия $AC$ — в плоскости $ACC_1$. Обе они перпендикулярны ребру пересечения $AA_1$ в точке $A$. Угол между плоскостями равен углу между линиями $AB$ и $AC$, то есть $\angle BAC$. Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании. Он равнобедренный, так как $AB = BC = 1$. Угол $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании треугольника $ABC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. Следовательно, угол между плоскостями равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

в) $ACC_1$ и $CDD_1$

Плоскость $ACC_1$ — это диагональная плоскость, а $CDD_1$ — боковая грань. Они пересекаются по общему боковому ребру $CC_1$. Так как призма прямая, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания. Следовательно, $CC_1 \perp AC$ и $CC_1 \perp CD$. Линия $AC$ лежит в плоскости $ACC_1$, а линия $CD$ — в плоскости $CDD_1$. Обе они перпендикулярны ребру пересечения $CC_1$ в точке $C$. Угол между плоскостями равен углу между линиями $AC$ и $CD$, то есть $\angle ACD$. В основании $ABCDEF$ угол $\angle BCD = 120^\circ$. Из решения пункта б) мы знаем, что $\angle BCA = 30^\circ$. Тогда угол $\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Следовательно, угол между плоскостями равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

г) $ACC_1$ и $BEE_1$

Плоскости $ACC_1$ и $BEE_1$ — это диагональные плоскости. Так как они содержат боковые ребра (или линии, им параллельные), они обе перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$. Угол между двумя плоскостями, перпендикулярными третьей плоскости, равен углу между их линиями пересечения с этой третьей плоскостью. Линия пересечения плоскости $ACC_1$ с основанием — это диагональ $AC$. Линия пересечения плоскости $BEE_1$ с основанием — это диагональ $BE$. Таким образом, искомый угол равен углу между диагоналями $AC$ и $BE$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Большая диагональ $BE$ является осью симметрии правильного шестиугольника. Вершины $A$ и $C$ симметричны относительно этой оси. Отрезок, соединяющий две симметричные точки ($AC$), перпендикулярен оси симметрии ($BE$). Следовательно, $AC \perp BE$, и угол между ними равен $90^\circ$. Значит, угол между плоскостями $ACC_1$ и $BEE_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

48. Найдите косинус двугранного угла, образованного гранями
правильного тетраэдра.

Дано:

Правильный тетраэдр (все грани - равносторонние треугольники, все ребра равны).

Обозначим длину ребра тетраэдра как $a$.

Найти:

Косинус двугранного угла, образованного гранями тетраэдра.

Решение:

Пусть дан правильный тетраэдр $DABC$. Двугранный угол между гранями — это угол между двумя плоскостями, в которых лежат эти грани. В правильном тетраэдре все двугранные углы равны. Найдем, например, угол между гранью основания $ABC$ и боковой гранью $DBC$.

Общим ребром для этих двух граней является ребро $BC$.

Для нахождения линейного угла двугранного угла нужно в каждой из граней провести перпендикуляр к общему ребру $BC$ из одной и той же точки на этом ребре.

Грани $ABC$ и $DBC$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Проведем в треугольнике $ABC$ медиану $AM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, медиана $AM$ является также и высотой, то есть $AM \perp BC$.

Аналогично, в треугольнике $DBC$ проведем медиану $DM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $DBC$ равносторонний, медиана $DM$ также является высотой, то есть $DM \perp BC$.

Таким образом, угол $AMD$ является линейным углом двугранного угла между гранями $ABC$ и $DBC$. Обозначим этот угол как $φ$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMD$. Чтобы найти косинус угла $φ$, воспользуемся теоремой косинусов. Для этого нам нужно знать длины всех трех сторон этого треугольника.

1. Сторона $AD$ является ребром тетраэдра, следовательно, ее длина равна $a$.

2. Стороны $AM$ и $DM$ являются высотами (и медианами) в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты $h$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, $AM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Теперь применим теорему косинусов для треугольника $AMD$:

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(φ)$

Подставим известные значения длин сторон:

$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(φ)$

Выполним вычисления:

$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(φ)$

$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(φ)$

$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(φ)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a \neq 0$):

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(φ)$

Теперь выразим $\cos(φ)$:

$\frac{3}{2} \cos(φ) = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{3}{2} \cos(φ) = \frac{1}{2}$

$\cos(φ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $1/3$.

49. Найдите косинус двугранного угла, образованного соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1.

Длина ребра основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 1$.

Найти:

Косинус двугранного угла, образованного соседними боковыми гранями.

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина пирамиды. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что ребра основания ($AB = BC = CD = DA = 1$) и боковые ребра ($SA = SB = SC = SD = 1$) равны 1.

Следовательно, боковые грани пирамиды ($SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$) являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

Найдем двугранный угол между двумя соседними боковыми гранями, например, между гранями $SBC$ и $SCD$. Эти грани пересекаются по общему ребру $SC$.

Для измерения двугранного угла построим его линейный угол. Для этого в плоскости каждой грани проведем перпендикуляр к общему ребру $SC$ из одной точки.

Рассмотрим грань $SBC$. Это равносторонний треугольник. Проведем в нем высоту $BH$ к стороне $SC$. Так как треугольник $SBC$ равносторонний, высота $BH$ является также медианой и биссектрисой. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=1$, поэтому длина высоты $BH$ равна:

$BH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Рассмотрим грань $SCD$. Она также является равносторонним треугольником, конгруэнтным треугольнику $SBC$. Проведем в нем высоту $DH$ к стороне $SC$. Так как треугольники равны, высота $DH$ будет опущена в ту же точку $H$ на ребре $SC$ и ее длина будет такой же:

$DH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

По определению, угол $BHD$ является линейным углом двугранного угла между гранями $SBC$ и $SCD$. Обозначим этот угол как $\phi$. Чтобы найти косинус этого угла, рассмотрим треугольник $BHD$. Мы знаем длины двух его сторон, $BH$ и $DH$. Найдем длину третьей стороны $BD$.

Сторона $BD$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании пирамиды. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BAD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$BD = \sqrt{2}$

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $BHD$:

$BD^2 = BH^2 + DH^2 - 2 \cdot BH \cdot DH \cdot \cos(\phi)$

Подставим известные значения:

$(\sqrt{2})^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\phi)$

$2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(\phi)$

$2 = \frac{6}{4} - \frac{6}{4} \cdot \cos(\phi)$

$2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\phi)$

Выразим $\cos(\phi)$:

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\phi) = \frac{3}{2} - 2$

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\phi) = \frac{3}{2} - \frac{4}{2}$

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\phi) = -\frac{1}{2}$

$\cos(\phi) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: Косинус двугранного угла, образованного соседними боковыми гранями, равен $-\frac{1}{3}$.

50. Сколько различных векторов задают ребра параллелепипеда?

Решение

Параллелепипед — это объемная фигура, у которой 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Ребра параллелепипеда можно разбить на три группы, в каждой из которых по четыре параллельных и равных по длине ребра.

Рассмотрим три ребра, выходящие из одной вершины. Они задают три некомпланарных (для невырожденного параллелепипеда) вектора, которые можно принять за базисные. Обозначим их как $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

1. Первая группа из четырех параллельных ребер задает вектор $\vec{a}$. Например, если $\vec{AB} = \vec{a}$, то и векторы, задаваемые тремя другими параллельными ребрами ($DC$, $A_1B_1$, $D_1C_1$), при соответствующем направлении будут равны $\vec{a}$.

2. Вторая группа из четырех параллельных ребер задает вектор $\vec{b}$.

3. Третья группа из четырех параллельных ребер задает вектор $\vec{c}$.

Таким образом, у нас есть три различных вектора: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

Каждое ребро может задавать не только вектор, но и противоположный ему вектор. Поэтому для каждой группы ребер мы получаем еще по одному вектору:

- Для первой группы — вектор $-\vec{a}$ (например, $\vec{BA}$).
- Для второй группы — вектор $-\vec{b}$.
- Для третьей группы — вектор $-\vec{c}$.

Поскольку исходные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не коллинеарны и не равны нулю, то все шесть векторов ($\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $-\vec{a}$, $-\vec{b}$, $-\vec{c}$) различны между собой. Других векторов ребра параллелепипеда не задают, так как все 12 ребер рассмотрены в обоих направлениях.

Ответ: 6.

51. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра равны 1. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AC_1}$;

б) $\vec{AD_1}$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.
Все ребра равны 1.
Следовательно, длина ребра основания $a = 1$, и длина бокового ребра (высота призмы) $h = 1$.

Найти:

а) $|\vec{AC_1}|$
б) $|\vec{AD_1}|$

Решение:

Длина вектора — это длина отрезка, соединяющего его начало и конец. Таким образом, задача сводится к нахождению длин диагоналей призмы $AC_1$ и $AD_1$. Мы будем использовать теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных диагоналями призмы, их проекциями на основание и боковыми ребрами.

а)

Длина вектора $\vec{AC_1}$ равна длине диагонали $AC_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$, где катет $AC$ — диагональ основания, а катет $CC_1$ — боковое ребро.

1. Найдем длину диагонали $AC$ в основании. Основание — это правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, т.е. $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)$
$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$
Следовательно, $AC = \sqrt{3}$.

2. Теперь найдем длину диагонали призмы $AC_1$ по теореме Пифагора в треугольнике $ACC_1$ (он прямоугольный, так как $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания):
$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$
$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$
$AC_1 = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, длина вектора $|\vec{AC_1}| = 2$.

Ответ: 2

б)

Длина вектора $\vec{AD_1}$ равна длине диагонали $AD_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$, где катет $AD$ — большая диагональ основания, а катет $DD_1$ — боковое ребро.

1. Найдем длину большой диагонали $AD$ в основании. Для правильного шестиугольника со стороной $a$ длина большой диагонали равна $2a$.
$AD = 2 \cdot a = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Теперь найдем длину диагонали призмы $AD_1$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ADD_1$:
$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$
$AD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
$AD_1 = \sqrt{5}$.

Таким образом, длина вектора $|\vec{AD_1}| = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

52. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

а) $\overline{AB} + \overline{AD}$;

б) $\overline{AB_1} + \overline{AD_1}$.

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный куб. Это означает, что длина каждого его ребра равна 1.

Найти:

а) Длину вектора $\vec{AB} + \vec{AD_1}$

б) Длину вектора $\vec{AB_1} + \vec{AD_1}$

Решение:

Для решения задачи введем правую прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба:

• Ось $Ox$ вдоль ребра $AB$.
• Ось $Oy$ вдоль ребра $AD$.
• Ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Так как куб единичный, длина его ребра равна 1. Координаты вершин, которые нам понадобятся, будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(1, 0, 0)$
• $A_1(0, 0, 1)$
• $D_1(0, 1, 1)$
• $B_1(1, 0, 1)$

Найдем координаты векторов, исходящих из точки A. Координаты вектора, начало которого совпадает с началом координат, равны координатам его конца.

• $\vec{AB} = \{1-0, 0-0, 0-0\} = \{1, 0, 0\}$
• $\vec{AD_1} = \{0-0, 1-0, 1-0\} = \{0, 1, 1\}$
• $\vec{AB_1} = \{1-0, 0-0, 1-0\} = \{1, 0, 1\}$

а) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$

Чтобы найти вектор суммы, сложим соответствующие координаты исходных векторов:

$\vec{v} = \vec{AB} + \vec{AD_1} = \{1, 0, 0\} + \{0, 1, 1\} = \{1+0, 0+1, 0+1\} = \{1, 1, 1\}$

Длина вектора $\vec{v}=\{x, y, z\}$ находится по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Применим эту формулу к нашему вектору $\vec{v}=\{1, 1, 1\}$:

$|\vec{AB} + \vec{AD_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

Геометрическая интерпретация: Вектор $\vec{AD_1}$ равен вектору $\vec{BC_1}$ (так как $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ - равные грани, а векторы сонаправлены). По правилу сложения векторов (правило треугольника): $\vec{AB} + \vec{AD_1} = \vec{AB} + \vec{BC_1} = \vec{AC_1}$. Вектор $\vec{AC_1}$ — это пространственная диагональ куба. Длина пространственной диагонали единичного куба как раз равна $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) $\vec{AB_1} + \vec{AD_1}$

Сложим векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$ покоординатно:

$\vec{u} = \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = \{1, 0, 1\} + \{0, 1, 1\} = \{1+0, 0+1, 1+1\} = \{1, 1, 2\}$

Теперь найдем длину полученного вектора $\vec{u}=\{1, 1, 2\}$:

$|\vec{AB_1} + \vec{AD_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

Геометрическая интерпретация: Сумма векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$ по правилу параллелограмма равна диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. Длину этой диагонали можно найти, используя теорему косинусов для векторов: $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

В нашем случае $\vec{a} = \vec{AB_1}$ и $\vec{b} = \vec{AD_1}$. Оба вектора являются диагоналями граней куба, поэтому их длины равны: $|\vec{AB_1}| = |\vec{AD_1}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Найдем косинус угла между ними через скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{AD_1} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$.

С другой стороны, $\vec{AB_1} \cdot \vec{AD_1} = |\vec{AB_1}| \cdot |\vec{AD_1}| \cdot \cos(\alpha) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\alpha) = 2\cos(\alpha)$.

Приравнивая два выражения для скалярного произведения, получаем $2\cos(\alpha) = 1$, откуда $\cos(\alpha) = 1/2$.

Теперь подставляем все значения в формулу для квадрата длины суммы:

$|\vec{AB_1} + \vec{AD_1}|^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 2 + 2 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 + 2 + 2 = 6$.

Следовательно, длина вектора равна $\sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{6}$

53. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ выразите вектор $\vec{AC_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Базисные векторы: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$.

Найти:

Выразить вектор $\vec{AC_1}$ через базисные векторы.

Решение:

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AC_1}$, который является главной диагональю куба, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника). Вектор $\vec{AC_1}$ можно представить как сумму векторов, образующих ломаную линию от точки $A$ до точки $C_1$.

Рассмотрим путь из точки $A$ в точку $C_1$ через вершины $C$ и $C_1$. По правилу треугольника для сложения векторов, имеем:

$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

Теперь необходимо выразить каждый из векторов в правой части равенства ($\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$) через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания куба — квадрата $ABCD$. По правилу параллелограмма (или правилу треугольника для пути $A \rightarrow B \rightarrow C$), вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Поскольку $ABCD$ — грань куба (квадрат), его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие этим сторонам и имеющие одинаковое направление, равны. Таким образом, $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Подставим это в выражение для $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

2. Вектор $\vec{CC_1}$ — это боковое ребро куба, которое соединяет нижнее и верхнее основания. Все боковые ребра куба параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$:

$\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$

3. Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$ в исходное равенство для $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC_1} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{AA_1}$

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Полученное выражение является векторным представлением диагонали куба (и любого параллелепипеда) через три некомпланарных вектора, выходящих из одной вершины и направленных вдоль его ребер.

Ответ: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

54. В правильной шестиугольной призме ABCDEF $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра равны 1.
Выразите вектор $\overline{AD_1}$ через векторы $\overline{AB}$, $\overline{AF}$ и $\overline{AA_1}$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.
Все ребра равны 1.
Базисные векторы: $\vec{AB}, \vec{AF}, \vec{AA_1}$.

Найти:

Выразить вектор $\vec{AD_1}$ через векторы $\vec{AB}, \vec{AF}$ и $\vec{AA_1}$.

Решение:

Чтобы выразить вектор $\vec{AD_1}$, представим его в виде суммы векторов по правилу многоугольника. Удобно выбрать путь из точки A в точку $D_1$ через точку D, лежащую в том же основании, что и точка A.

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Поскольку $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - это призма, все её боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, вектор бокового ребра $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$:

$\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$

Теперь необходимо выразить вектор $\vec{AD}$ через базисные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$. Оба эти вектора, а также вектор $\vec{AD}$, лежат в плоскости основания ABCDEF.

Основанием призмы является правильный шестиугольник ABCDEF. Пусть O - центр этого шестиугольника. Вектор $\vec{AD}$ является большой диагональю шестиугольника. Он проходит через центр O, и его длина вдвое больше длины отрезка AO. Векторно это записывается так:

$\vec{AD} = 2\vec{AO}$

Теперь выразим вектор $\vec{AO}$ через $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$. Для этого воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника AFO. Путь из точки A в точку O можно представить как сумму векторов по пути A → F → O:

$\vec{AO} = \vec{AF} + \vec{FO}$

В правильном шестиугольнике вектор, соединяющий вершину с центром (например, $\vec{FO}$), равен вектору, образующему одну из сторон, примыкающих к "противоположной" вершине (в данном случае, $\vec{AB}$). Геометрически отрезки FO и AB параллельны, равны по длине (так как радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне), и их направления совпадают. Таким образом:

$\vec{FO} = \vec{AB}$

Подставим это соотношение в выражение для $\vec{AO}$:

$\vec{AO} = \vec{AF} + \vec{AB}$

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{AO}$ в формулу для $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = 2\vec{AO} = 2(\vec{AF} + \vec{AB})$

Наконец, вернемся к исходному выражению для $\vec{AD_1}$ и подставим в него найденные выражения для $\vec{AD}$ и $\vec{DD_1}$:

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = 2(\vec{AF} + \vec{AB}) + \vec{AA_1}$

Раскрыв скобки, получаем окончательное выражение:

$\vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF} + \vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF} + \vec{AA_1}$.

55. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.

Найдите угол между векторами $\overline{SA}$ и:

а) $\overline{BC}$;

б) $\overline{EF}$.

Дано:

$SABCD$ – правильная четырехугольная пирамида.
Все ребра равны 1, то есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.
Точки $E$ и $F$ в условии не определены. Предположим, что $E$ — середина ребра $SB$, а $F$ — середина ребра $SD$.

Найти:

а) Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.
б) Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{EF}$.

Решение:

Поскольку $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида, в её основании лежит квадрат $ABCD$. Так как все ребра равны 1, боковые грани являются равносторонними треугольниками.

а) Найдем угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$

Угол между двумя векторами — это угол между ними, когда они отложены от одной точки. В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$, поэтому стороны $BC$ и $AD$ параллельны и равны. Следовательно, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Поэтому угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$ равен углу между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AD}$.
Рассмотрим треугольник $SAD$. По условию, все ребра пирамиды равны 1, значит $SA = AD = SD = 1$. Таким образом, треугольник $SAD$ является равносторонним.
Угол $\angle SAD$ в равностороннем треугольнике равен $60^{\circ}$. Этот угол является углом между векторами $\vec{AS}$ и $\vec{AD}$.
Вектор $\vec{SA}$ является противоположным вектору $\vec{AS}$ ($\vec{SA} = -\vec{AS}$). Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AD}$ будет смежным с углом $\angle SAD$.
Искомый угол $\alpha$ равен:
$\alpha = 180^{\circ} - \angle SAD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Ответ: $120^{\circ}$

б) Найдем угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{EF}$

Как было указано выше, мы предполагаем, что $E$ — середина ребра $SB$, а $F$ — середина ребра $SD$.
В таком случае, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $SBD$.
По свойству средней линии, $EF$ параллельна стороне $BD$ и равна ее половине. Это означает, что вектор $\vec{EF}$ коллинеарен вектору $\vec{DB}$ (так как $E$ и $F$ - середины $SB$ и $SD$ соответственно, направление будет от $D$ к $B$). Точнее, $\vec{EF} = \frac{1}{2}\vec{DB}$.
Следовательно, угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{EF}$ равен углу между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{DB}$. Это угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $DB$.
Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$ (точка пересечения диагоналей). Поскольку пирамида правильная, ее высота $SO$ опускается в центр основания. Значит, $SO \perp (ABCD)$.
Так как $SO$ перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и диагонали $DB$. То есть $SO \perp DB$.
В квадрате $ABCD$ диагонали перпендикулярны: $AC \perp DB$.
Прямая $DB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($SO$ и $AC$) в плоскости $SAC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $DB$ перпендикулярна всей плоскости $SAC$.
Прямая $SA$ лежит в плоскости $SAC$. Так как прямая $DB$ перпендикулярна плоскости $SAC$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $DB \perp SA$.
Угол между прямыми $SA$ и $DB$ равен $90^{\circ}$. Значит, и угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{DB}$ (или $\vec{BD}$) равен $90^{\circ}$.
Таким образом, угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{EF}$ равен $90^{\circ}$.

Ответ: $90^{\circ}$

56. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите скалярное произведение векторов $\overline{AB_1}$ и: а) $\overline{CC_1}$; б) $\overline{CD_1}$; в) $\overline{BC_1}$; г) $\overline{BD_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, следовательно, длина его ребра $a = 1$.

Найти:

Скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AB_1} \cdot \vec{CC_1}$

б) $\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1}$

в) $\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}$

г) $\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1}$

Решение:

В выбранной системе координат найдем координаты вершин куба, необходимых для решения задачи:

$A(0, 0, 0)$

$B(1, 0, 0)$

$C(1, 1, 0)$

$D_1(0, 1, 1)$

$B_1(1, 0, 1)$

$C_1(1, 1, 1)$

Теперь найдем координаты векторов. Координаты вектора $\vec{PQ}$ с началом в точке $P(x_p, y_p, z_p)$ и концом в точке $Q(x_q, y_q, z_q)$ вычисляются по формуле $\vec{PQ} = (x_q - x_p, y_q - y_p, z_q - z_p)$.

$\vec{AB_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1)$

$\vec{CC_1} = (1-1, 1-1, 1-0) = (0, 0, 1)$

$\vec{CD_1} = (0-1, 1-1, 1-0) = (-1, 0, 1)$

$\vec{BC_1} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$

$\vec{BD_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

а) $\vec{AB_1} \cdot \vec{CC_1}$

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CC_1} = (1, 0, 1) \cdot (0, 0, 1) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

б) $\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1}$

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1} = (1, 0, 1) \cdot (-1, 0, 1) = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = -1 + 0 + 1 = 0$.

Ответ: 0

в) $\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}$

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (1, 0, 1) \cdot (0, 1, 1) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

г) $\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1}$

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1} = (1, 0, 1) \cdot (-1, 1, 1) = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -1 + 0 + 1 = 0$.

Ответ: 0

57. Вычислите работу, которую производит сила $ \vec{F} = \vec{BD_1} $, перемещая объект из вершины C в вершину C₁ единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - единичный (длина ребра равна 1).
Действующая сила $\vec{F} = \vec{BD_1}$.
Перемещение объекта происходит из вершины $C$ в вершину $C_1$.

Найти:

Работу $A$, которую производит сила $\vec{F}$.

Решение:

Работа $A$ постоянной силы $\vec{F}$ при перемещении тела на вектор $\vec{s}$ вычисляется как скалярное произведение векторов силы и перемещения:

$A = \vec{F} \cdot \vec{s}$

В нашем случае сила $\vec{F} = \vec{BD_1}$, а вектор перемещения $\vec{s} = \vec{CC_1}$.

Для нахождения координат векторов введем правую прямоугольную систему координат. Совместим начало координат с вершиной $A(0, 0, 0)$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$.

Поскольку куб единичный, его ребро равно 1. Определим координаты нужных нам вершин:

$B$ (лежит на оси $Ox$): $(1, 0, 0)$
$C$ (лежит в плоскости $Oxy$): $(1, 1, 0)$
$D_1$ (смещена от $D(0,1,0)$ вверх по $Oz$): $(0, 1, 1)$
$C_1$ (смещена от $C(1,1,0)$ вверх по $Oz$): $(1, 1, 1)$

Теперь найдем координаты вектора силы $\vec{F} = \vec{BD_1}$. Для этого из координат конца вектора (точки $D_1$) вычтем координаты его начала (точки $B$):

$\vec{F} = \vec{BD_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$

Аналогично найдем координаты вектора перемещения $\vec{s} = \vec{CC_1}$:

$\vec{s} = \vec{CC_1} = (1-1, 1-1, 1-0) = (0, 0, 1)$

Теперь можем вычислить работу как скалярное произведение векторов $\vec{F}$ и $\vec{s}$:

$A = \vec{F} \cdot \vec{s} = (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$

Ответ: 1.