Номер 43, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

43. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра равны 1. Найдите расстояние от вершины B до плоскости:

а) $ACC_1$;

б) $CDD_1$;

в) $DEE_1$;

г) $DFF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер равна 1. То есть, сторона основания $a=1$ и боковое ребро (высота) $h=1$.

Найти:

Расстояние от вершины B до плоскостей:

а) $ACC_1$

б) $CDD_1$

в) $DEE_1$

г) $DFF_1$

Решение:

Основания призмы $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильные шестиугольники. Призма является прямой, так как она правильная. Это означает, что боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Плоскости $ACC_1$, $CDD_1$, $DEE_1$ и $DFF_1$ являются боковыми гранями или сечениями, проходящими через боковые ребра ($CC_1$, $DD_1$ и т.д.). Все эти плоскости перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$.

Следовательно, расстояние от точки $B$, лежащей в плоскости основания, до каждой из этих вертикальных плоскостей равно расстоянию от точки $B$ до прямой, по которой данная плоскость пересекает плоскость основания $ABCDEF$.

а) $ACC_1$

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $AC$ в плоскости основания. Рассмотрим треугольник $ABC$. В правильном шестиугольнике все стороны равны 1, а внутренние углы равны $120^\circ$.

Таким образом, в треугольнике $ABC$ имеем $AB=BC=1$ и $\angle ABC = 120^\circ$.

Искомое расстояние — это длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$.

Найдем площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Теперь найдем длину стороны $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$

Площадь треугольника также можно выразить через высоту $BH$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

Отсюда находим высоту $BH$:

$BH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{AC} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/4)}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $CDD_1$

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CDD_1$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $CD$. Рассмотрим треугольник $BCD$.

В правильном шестиугольнике $BC=CD=1$ и $\angle BCD = 120^\circ$.

Искомое расстояние — это длина высоты, опущенной из вершины $B$ на прямую $CD$.

Найдем площадь треугольника $BCD$:

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Площадь треугольника также равна половине произведения основания на высоту. Примем за основание сторону $CD=1$.

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_B$

Отсюда находим высоту $h_B$:

$h_B = \frac{2 \cdot S_{BCD}}{CD} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/4)}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $DEE_1$

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $DE$.

В правильном шестиугольнике сторона $AB$ параллельна стороне $DE$. Поэтому расстояние от точки $B$ до прямой $DE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $DE$.

Это расстояние равно сумме высот двух равносторонних треугольников $OAB$ и $ODE$ (где $O$ — центр шестиугольника), опущенных из общего центра $O$ на стороны $AB$ и $DE$. Высота такого равностороннего треугольника со стороной 1 (апофема шестиугольника) равна:

$m = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Расстояние между $AB$ и $DE$ равно $2m$.

$d = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

г) $DFF_1$

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DFF_1$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $DF$. Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Поместим центр основания шестиугольника в начало координат $O(0,0)$. Тогда вершины будут иметь следующие координаты:

$B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $D(-1, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Составим уравнение прямой, проходящей через точки $D$ и $F$.

Уравнение прямой: $\frac{x - x_D}{x_F - x_D} = \frac{y - y_D}{y_F - y_D}$

$\frac{x - (-1)}{1/2 - (-1)} = \frac{y - 0}{-\sqrt{3}/2 - 0}$

$\frac{x + 1}{3/2} = \frac{y}{-\sqrt{3}/2}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}(x+1) = \frac{3}{2}y$

$-\sqrt{3}(x+1) = 3y$

$\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3} = 0$, или, разделив на $\sqrt{3}$: $x + \sqrt{3}y + 1 = 0$

Теперь найдем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ до прямой $x + \sqrt{3}y + 1 = 0$ по формуле расстояния от точки до прямой $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$:

$d = \frac{|\frac{1}{2} + \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1|}{\sqrt{1+3}} = \frac{|2+1|}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$