Страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.24. Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.19.

а)

б)

Рис. 1.19

а)

Дано:

Фигура а) представляет собой тело, полученное путем "выдавливания" П-образной фигуры. Размеры основания и высота призмы:
Общая ширина основания = 3 ед.
Общая высота основания = 2 ед.
Ширина выреза = 1 ед.
Высота выреза = 1 ед.
Глубина (длина призмы) = 2 ед.
(Все данные в условных единицах, перевод в систему СИ не требуется)

Найти:

Площадь поверхности детали а), $S_a$.

Решение:

Площадь поверхности такой призмы можно найти как сумму площадей двух оснований (передней и задней П-образных граней) и площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности, в свою очередь, равна произведению периметра основания на глубину детали.

1. Найдем площадь П-образного основания (поперечного сечения). Она равна площади внешнего прямоугольника за вычетом площади вырезанного прямоугольника.

$A_{сечения} = (3 \cdot 2) - (1 \cdot 1) = 6 - 1 = 5$ кв. ед.

2. Найдем периметр П-образного основания. Он складывается из длин всех отрезков, образующих его контур:

$P_{сечения} = 3_{ниж} + 2_{лев} + 1_{верх.лев} + 1_{внутр.лев} + 1_{дно.выреза} + 1_{внутр.прав} + 1_{верх.прав} + 2_{прав} = 12$ ед.

Альтернативный подсчет периметра: $(3+2) \cdot 2$ (периметр внешнего прямоугольника) $+ 2 \cdot 1$ (добавляются две внутренние вертикальные стенки) $= 10 + 2 = 12$ ед.

3. Глубина детали (длина призмы) $L = 2$ ед.

4. Вычислим полную площадь поверхности по формуле $S = 2 \cdot A_{сечения} + P_{сечения} \cdot L$.

$S_a = 2 \cdot 5 + 12 \cdot 2 = 10 + 24 = 34$ кв. ед.

Ответ: 34 кв. ед.

б)

Дано:

Фигура б) представляет собой прямоугольный параллелепипед, из которого вырезан меньший прямоугольный параллелепипед (куб).
Размеры большого параллелепипеда (описывающего ящика):
Ширина $W = 3$ ед.
Глубина $D = 2$ ед.
Высота $H = 2$ ед.
Размеры вырезанного куба:
Сторона $a = 1$ ед.
(Все данные в условных единицах, перевод в систему СИ не требуется)

Найти:

Площадь поверхности детали б), $S_b$.

Решение:

Площадь поверхности детали можно найти, вычислив площадь поверхности исходного большого параллелепипеда и скорректировав ее с учетом вырезанного куба. Этот метод называется методом "описывающего ящика".

1. Найдем площадь поверхности большого параллелепипеда с размерами $3 \times 2 \times 2$.

$S_{ящика} = 2(WD + WH + DH) = 2(3 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2(6 + 6 + 4) = 2 \cdot 16 = 32$ кв. ед.

2. Проанализируем, как изменилась площадь поверхности при вырезании куба $1 \times 1 \times 1$ из переднего верхнего ребра.

При вырезании куба, две его грани, которые находились на поверхности большого параллелепипеда (передняя и верхняя), удаляются. Вместо них появляются четыре новые грани (задняя, нижняя, левая и правая грани куба), которые ранее находились внутри.

Площадь удаленной поверхности: $S_{удал} = S_{передняя.грань.куба} + S_{верхняя.грань.куба} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) = 2$ кв. ед.

Площадь добавленной поверхности: $S_{доб} = S_{задняя} + S_{нижняя} + S_{левая} + S_{правая} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) = 4$ кв. ед.

3. Общее изменение площади поверхности равно: $\Delta S = S_{доб} - S_{удал} = 4 - 2 = 2$ кв. ед.

4. Итоговая площадь поверхности детали:

$S_b = S_{ящика} + \Delta S = 32 + 2 = 34$ кв. ед.

Ответ: 34 кв. ед.

1.25. Чему равна площадь поверхности детали в форме пространственного креста (рис. 1.20), если ребра образующих его кубов равны единице?

Рис. 1.20

Дано:

Деталь в форме пространственного креста, составленная из кубов.

Длина ребра куба: $a = 1$

Найти:

Площадь поверхности детали $S$.

Решение:

Пространственный крест представляет собой фигуру, состоящую из одного центрального куба и шести кубов, примыкающих к каждой из его шести граней. Таким образом, деталь состоит из 7 одинаковых кубов.

Площадь поверхности можно найти несколькими способами.

Способ 1: Подсчет видимых граней.

Площадь одной грани куба с ребром $a=1$ равна $S_{грани} = a^2 = 1^2 = 1$ квадратной единице.

Центральный куб полностью скрыт другими кубами, поэтому ни одна из его граней не входит в общую поверхность детали.

Каждый из шести внешних кубов примыкает к центральному только одной своей гранью. Следовательно, у каждого из этих шести кубов 5 граней являются внешними (образуют поверхность детали), а одна грань — внутренняя.

Общее количество внешних граней равно:

$N = 6 \text{ кубов} \times 5 \text{ граней/куб} = 30$ граней.

Тогда общая площадь поверхности детали равна произведению количества внешних граней на площадь одной грани:

$S = N \times S_{грани} = 30 \times 1 = 30$ квадратных единиц.

Способ 2: Вычитание площади скрытых поверхностей.

Площадь поверхности одного отдельно взятого куба равна $S_{куба} = 6a^2 = 6 \times 1^2 = 6$.

Если бы все 7 кубов были разделены, их суммарная площадь поверхности составила бы:

$S_{общая} = 7 \times S_{куба} = 7 \times 6 = 42$ квадратные единицы.

При соединении кубов часть их поверхностей становится внутренней. Всего в фигуре 6 мест соединения (центральный куб соприкасается с шестью внешними). Каждое соединение скрывает две грани (одну на центральном кубе и одну на внешнем).

Количество скрытых граней равно $6 \times 2 = 12$.

Площадь скрытой поверхности равна:

$S_{скрытая} = 12 \times S_{грани} = 12 \times 1 = 12$ квадратных единиц.

Площадь поверхности детали равна разности суммарной площади всех кубов и площади скрытой поверхности:

$S = S_{общая} - S_{скрытая} = 42 - 12 = 30$ квадратных единиц.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $30$ квадратных единиц.

1.26. На рисунке 1.21 изображено поперечное сечение канала. Дно и стенки канала забетонированы. Какую площадь нужно покрыть бетоном на каждый километр канала?

$25$ м

$7$ м

$5$ м

Рис. 1.21

Дано:

Ширина канала поверху, $a = 25$ м
Ширина дна канала, $b = 7$ м
Глубина канала, $h = 5$ м
Длина участка канала, $L = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Найти:

Площадь для покрытия бетоном, $S_{покр}$

Решение:

Площадь, которую необходимо покрыть бетоном, представляет собой сумму площадей дна и двух наклонных стенок канала на его длине в 1 километр. Эта площадь ($S_{покр}$) равна произведению периметра бетонируемого поперечного сечения ($P_{сеч}$) на длину канала ($L$).

Поперечное сечение канала имеет форму равнобедренной трапеции. Периметр сечения, подлежащий бетонированию, складывается из ширины дна ($b$) и длин двух одинаковых боковых стенок ($c$).

$P_{сеч} = b + 2c$

Для нахождения длины боковой стенки ($c$) воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая стенка ($c$), а катетами — высота трапеции ($h$) и горизонтальная проекция боковой стенки ($x$).

Длина катета $x$ равна половине разности ширины канала поверху ($a$) и ширины дна ($b$):

$x = \frac{a - b}{2} = \frac{25 \text{ м} - 7 \text{ м}}{2} = \frac{18 \text{ м}}{2} = 9 \text{ м}$

По теореме Пифагора:

$c = \sqrt{h^2 + x^2} = \sqrt{5^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106} \text{ м}$

Теперь вычисляем периметр бетонируемого сечения:

$P_{сеч} = b + 2c = 7 + 2\sqrt{106} \text{ м}$

Наконец, находим общую площадь для покрытия бетоном:

$S_{покр} = P_{сеч} \cdot L = (7 + 2\sqrt{106}) \text{ м} \cdot 1000 \text{ м} = 1000(7 + 2\sqrt{106}) \text{ м}^2$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{106} \approx 10,2956$:

$S_{покр} \approx 1000 \cdot (7 + 2 \cdot 10,2956) = 1000 \cdot (7 + 20,5912) = 1000 \cdot 27,5912 = 27591,2 \text{ м}^2$

Округлив результат до целого числа, получаем $27591 \text{ м}^2$.

Ответ: $27591 \text{ м}^2$.