Номер 1.26, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.26. На рисунке 1.21 изображено поперечное сечение канала. Дно и стенки канала забетонированы. Какую площадь нужно покрыть бетоном на каждый километр канала?

$25$ м

$7$ м

$5$ м

Рис. 1.21

Дано:

Ширина канала поверху, $a = 25$ м
Ширина дна канала, $b = 7$ м
Глубина канала, $h = 5$ м
Длина участка канала, $L = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Найти:

Площадь для покрытия бетоном, $S_{покр}$

Решение:

Площадь, которую необходимо покрыть бетоном, представляет собой сумму площадей дна и двух наклонных стенок канала на его длине в 1 километр. Эта площадь ($S_{покр}$) равна произведению периметра бетонируемого поперечного сечения ($P_{сеч}$) на длину канала ($L$).

Поперечное сечение канала имеет форму равнобедренной трапеции. Периметр сечения, подлежащий бетонированию, складывается из ширины дна ($b$) и длин двух одинаковых боковых стенок ($c$).

$P_{сеч} = b + 2c$

Для нахождения длины боковой стенки ($c$) воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая стенка ($c$), а катетами — высота трапеции ($h$) и горизонтальная проекция боковой стенки ($x$).

Длина катета $x$ равна половине разности ширины канала поверху ($a$) и ширины дна ($b$):

$x = \frac{a - b}{2} = \frac{25 \text{ м} - 7 \text{ м}}{2} = \frac{18 \text{ м}}{2} = 9 \text{ м}$

По теореме Пифагора:

$c = \sqrt{h^2 + x^2} = \sqrt{5^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106} \text{ м}$

Теперь вычисляем периметр бетонируемого сечения:

$P_{сеч} = b + 2c = 7 + 2\sqrt{106} \text{ м}$

Наконец, находим общую площадь для покрытия бетоном:

$S_{покр} = P_{сеч} \cdot L = (7 + 2\sqrt{106}) \text{ м} \cdot 1000 \text{ м} = 1000(7 + 2\sqrt{106}) \text{ м}^2$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{106} \approx 10,2956$:

$S_{покр} \approx 1000 \cdot (7 + 2 \cdot 10,2956) = 1000 \cdot (7 + 20,5912) = 1000 \cdot 27,5912 = 27591,2 \text{ м}^2$

Округлив результат до целого числа, получаем $27591 \text{ м}^2$.

Ответ: $27591 \text{ м}^2$.