Номер 1.30, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.30. Может ли невыпуклый многоугольник быть гранью выпуклого многогранника?

Решение

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть определения выпуклого многогранника и его грани.

Выпуклый многогранник — это такое тело в трехмерном пространстве, которое является выпуклым множеством. Свойство выпуклости означает, что для любых двух точек, принадлежащих многограннику, отрезок, соединяющий эти точки, также полностью принадлежит этому многограннику.

Грань выпуклого многогранника — это плоский многоугольник, который образуется как пересечение самого многогранника с одной из его опорных плоскостей. Опорная плоскость — это такая плоскость, которая имеет хотя бы одну общую точку с многогранником, и при этом весь многогранник лежит по одну сторону от этой плоскости.

Пусть $P$ — это выпуклый многогранник, а $F$ — одна из его граней. По определению, грань $F$ лежит в некоторой плоскости $\alpha$. Эта плоскость $\alpha$ является опорной для многогранника $P$. Грань $F$ является пересечением многогранника $P$ и плоскости $\alpha$:

$F = P \cap \alpha$

Теперь проанализируем множества, участвующие в этом равенстве:

1. Тело многогранника $P$ является выпуклым множеством (по определению выпуклого многогранника).

2. Плоскость $\alpha$ также является выпуклым множеством (поскольку любой отрезок, концы которого лежат в плоскости, целиком принадлежит этой плоскости).

В геометрии есть фундаментальная теорема, которая гласит, что пересечение любого количества выпуклых множеств само является выпуклым множеством.

Применяя эту теорему, мы заключаем, что грань $F$, как результат пересечения двух выпуклых множеств ($P$ и $\alpha$), сама обязана быть выпуклым множеством.

Невыпуклый многоугольник по своему определению не является выпуклым множеством. В нем всегда можно найти две внутренние точки, отрезок между которыми частично выходит за пределы многоугольника.

Следовательно, грань выпуклого многогранника не может быть невыпуклым многоугольником. Она всегда является выпуклым многоугольником.

Ответ: Нет, не может. Все грани выпуклого многогранника обязательно являются выпуклыми многоугольниками.