Задания, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на длину апофемы пирамиды, т.е. имеет место формула:

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}pl$

где $l$ — апофема (высота боковой грани, опущенной из вершины пирамиды), а $p$ — периметр основания пирамиды.

Рис. 2.2

Докажите эту теорему самостоятельно.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Решение

Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду. Боковая поверхность такой пирамиды состоит из $n$ равных между собой боковых граней, каждая из которых является равнобедренным треугольником.

Пусть $a$ — длина стороны правильного многоугольника, лежащего в основании пирамиды.
Пусть $n$ — количество сторон этого многоугольника (и, соответственно, количество боковых граней).
Периметр основания $p$ равен сумме длин всех его сторон: $p = n \cdot a$.

Апофема $l$ правильной пирамиды — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания.

Площадь одной боковой грани (треугольника) вычисляется по формуле: $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Для боковой грани основанием является сторона основания пирамиды $a$, а высотой — её апофема $l$.
Следовательно, площадь одной боковой грани равна: $S_{грани} = \frac{1}{2}al$.

Площадь всей боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей всех её $n$ боковых граней. Поскольку все грани равны, то:
$S_{бок} = n \cdot S_{грани} = n \cdot (\frac{1}{2}al)$.

Сгруппируем множители в правой части равенства:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (n \cdot a) \cdot l$.

Так как мы ранее определили, что периметр основания $p = n \cdot a$, мы можем подставить $p$ в полученное выражение:
$S_{бок} = \frac{1}{2}pl$.

Таким образом, теорема доказана: площадь боковой поверхности правильной пирамиды действительно равна половине произведения периметра её основания на апофему.
Ответ: Доказательство основано на том, что боковая поверхность правильной пирамиды состоит из $n$ равных равнобедренных треугольников. Площадь одного такого треугольника равна $S_{грани} = \frac{1}{2}al$, где $a$ — сторона основания, а $l$ — апофема. Суммарная площадь всех граней равна $S_{бок} = n \cdot S_{грани} = n \cdot (\frac{1}{2}al) = \frac{1}{2}(na)l$. Заменяя произведение $na$ на периметр основания $p$, получаем итоговую формулу $S_{бок} = \frac{1}{2}pl$. Что и требовалось доказать.