Номер 1.34, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.34. Докажите, что если гранями многогранника являются только четырехугольники, то учетверенное число граней равно удвоенному числу ребер, то есть $4F = 2E$. Сколько ребер у такого многогранника, если число граней равно 6? Приведите пример такого многогранника.

Докажите, что если гранями многогранника являются только четырехугольники, то учетверенное число граней равно удвоенному числу ребер.

Решение:
Пусть Г – это число граней многогранника, а Р – это число его ребер.
Согласно условию задачи, все грани многогранника являются четырехугольниками. Это означает, что у каждой грани есть 4 ребра.
Найдем общее количество ребер всех граней, если бы мы рассматривали их как отдельные фигуры. Для этого умножим число граней на количество ребер у одной грани: $4 \cdot Г$.
В конструкции многогранника каждое ребро является общим ровно для двух смежных граней. Следовательно, при подсчете общего количества ребер по граням ($4 \cdot Г$) каждое ребро самого многогранника было посчитано дважды.
Таким образом, чтобы получить истинное число ребер многогранника (Р), нужно сумму $4 \cdot Г$ разделить на 2, либо, что то же самое, удвоенное число ребер многогранника равно сумме ребер всех его граней: $2 \cdot Р = 4 \cdot Г$.
Данное равенство доказывает, что учетверенное число граней ($4 \cdot Г$) равно удвоенному числу ребер ($2 \cdot Р$).
Ответ: Утверждение доказано. Сумма числа сторон всех Г граней равна $4 \cdot Г$. Поскольку каждое ребро Р является общим для двух граней, эта сумма также равна $2 \cdot Р$. Следовательно, $4 \cdot Г = 2 \cdot Р$.

Сколько ребер у такого многогранника, если число граней равно 6?

Дано:
Многогранник, все грани которого являются четырехугольниками.
Число граней $Г = 6$.

Найти:
Число ребер $Р$.

Решение:
Воспользуемся соотношением, доказанным в предыдущем пункте: $4 \cdot Г = 2 \cdot Р$.
Подставим известное значение числа граней $Г = 6$ в данное равенство:
$4 \cdot 6 = 2 \cdot Р$
$24 = 2 \cdot Р$
Чтобы найти Р, разделим обе части уравнения на 2:
$Р = \frac{24}{2}$
$Р = 12$
Ответ: У такого многогранника 12 ребер.

Приведите пример такого многогранника.

Решение:
Требуется найти пример многогранника, у которого 6 граней и все они являются четырехугольниками. Таким условиям удовлетворяет куб.

• У куба 6 граней.
• Все грани куба - квадраты, которые являются частным случаем четырехугольника.
• Число ребер куба равно 12, что полностью соответствует вычислениям, произведенным во второй части задачи.