Номер 1.19, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 1. Понятие многогранника. Призма и ее элементы, виды призм. Развертка, площадь боковой и полной поверхностей призмы. Глава I. Многогранники - номер 1.19, страница 14.

Условие.

1.19. Стороны основания правильной шестиугольной призмы равны 1. Ее большая диагональ равна 3. Найдите высоту этой призмы.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Рис. 1.15

Решение 2 (rus).

Дано:

Правильная шестиугольная призма

Сторона основания, $a = 1$

Большая диагональ призмы, $D = 3$

Найти:

Высоту призмы, $h$

Решение:

В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Большая диагональ основания ($d$) связана со стороной основания ($a$) соотношением $d = 2a$.

Найдем длину большей диагонали основания:

$d = 2 \cdot 1 = 2$

Большая диагональ призмы ($D$), высота призмы ($h$) и большая диагональ основания ($d$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике большая диагональ призмы $D$ является гипотенузой, а высота $h$ и большая диагональ основания $d$ — катетами.

По теореме Пифагора:

$D^2 = h^2 + d^2$

Выразим из этого уравнения высоту $h$:

$h^2 = D^2 - d^2$

$h = \sqrt{D^2 - d^2}$

Подставим известные значения $D = 3$ и $d = 2$ в формулу:

$h = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$