Страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.20. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2. Каким должно быть третье ребро, выходящее из той же вершины, чтобы площадь поверхности этого параллелепипеда равнялась 40?

Дано:

Прямоугольный параллелепипед

Длина первого ребра, $a = 2$

Длина второго ребра, $b = 2$

Площадь полной поверхности, $S = 40$

Найти:

Длину третьего ребра, $c$

Решение:

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле, где $a, b, c$ — его измерения (длина, ширина, высота):

$S = 2(ab + bc + ac)$

Подставим в эту формулу известные значения. Пусть $a = 2$, $b = 2$, а $c$ — искомое третье ребро. Площадь поверхности $S = 40$.

$40 = 2(2 \cdot 2 + 2 \cdot c + 2 \cdot c)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $c$.

Сначала упростим выражение в скобках:

$40 = 2(4 + 4c)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$20 = 4 + 4c$

Перенесем 4 в левую часть уравнения, изменив знак:

$20 - 4 = 4c$

$16 = 4c$

Найдем $c$, разделив 16 на 4:

$c = \frac{16}{4}$

$c = 4$

Таким образом, длина третьего ребра, выходящего из той же вершины, должна быть равна 4.

Ответ: 4.

1.21. Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.16.

б) Рис. 1.16

a)

Дано:

Фигура, составленная из прямоугольных параллелепипедов, с размерами, указанными на рисунке. Фигуру можно представить как два соединённых прямоугольных параллелепипеда. Первый, высокий, с размерами $1 \times 2 \times 2$ (ширина $\times$ глубина $\times$ высота). Второй, низкий, с размерами $1 \times 2 \times 1$.

Найти:

Площадь поверхности детали $S_a$.

Решение:

Для нахождения площади поверхности всей детали сложим площади поверхностей составляющих её параллелепипедов и вычтем удвоенную площадь их соприкосновения, так как эта область не является внешней поверхностью.

Площадь поверхности первого (высокого) параллелепипеда с рёбрами 1, 2, 2 равна:

$S_1 = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2 \cdot (2 + 2 + 4) = 2 \cdot 8 = 16$.

Площадь поверхности второго (низкого) параллелепипеда с рёбрами 1, 2, 1 равна:

$S_2 = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2 \cdot (2 + 1 + 2) = 2 \cdot 5 = 10$.

Параллелепипеды соприкасаются по грани с размерами $1 \times 2$. Площадь соприкосновения:

$S_{конт} = 1 \cdot 2 = 2$.

Общая площадь поверхности детали равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$ минус удвоенная площадь соприкосновения:

$S_a = S_1 + S_2 - 2 \cdot S_{конт} = 16 + 10 - 2 \cdot 2 = 26 - 4 = 22$.

Ответ: $22$.

б)

Дано:

Фигура, составленная из прямоугольных параллелепипедов, с размерами, указанными на рисунке. Фигуру можно представить как три соединённых прямоугольных параллелепипеда: левый с размерами $1 \times 2 \times 1$ (ширина $\times$ глубина $\times$ высота), центральный с размерами $1 \times 2 \times 2$ и правый с размерами $1 \times 2 \times 1$.

Найти:

Площадь поверхности детали $S_б$.

Решение:

Сложим площади поверхностей трёх составляющих параллелепипедов и вычтем удвоенные площади их соприкосновения.

Площадь поверхности левого блока ($1 \times 2 \times 1$):

$S_{лев} = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2 \cdot (2 + 1 + 2) = 10$.

Площадь поверхности центрального блока ($1 \times 2 \times 2$):

$S_{центр} = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2 \cdot (2 + 2 + 4) = 16$.

Площадь поверхности правого блока ($1 \times 2 \times 1$):

$S_{прав} = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2 \cdot (2 + 1 + 2) = 10$.

Левый и центральный блоки соприкасаются по грани $1 \times 2$. Площадь соприкосновения $S_{конт1} = 1 \cdot 2 = 2$.

Правый и центральный блоки соприкасаются по грани $1 \times 2$. Площадь соприкосновения $S_{конт2} = 1 \cdot 2 = 2$.

Общая площадь поверхности детали:

$S_б = S_{лев} + S_{центр} + S_{прав} - 2 \cdot S_{конт1} - 2 \cdot S_{конт2}$

$S_б = 10 + 16 + 10 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 36 - 4 - 4 = 28$.

Ответ: $28$.

1.22. Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямо-угольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.17.

а)

б)

Рис. 1.17

a)

Дано:

Деталь, составленная из прямоугольных параллелепипедов, с габаритами:
Общая ширина: $3$ ед.
Общая глубина: $4$ ед.
Общая высота: $4$ ед.
Параметры прямоугольного выреза, проходящего сквозь деталь:
Ширина выреза: $1$ ед.
Высота выреза: $2$ ед.
Глубина выреза: $4$ ед.

Найти:

Площадь поверхности детали $S_a$.

Решение:

Площадь поверхности детали можно вычислить как сумму площадей всех ее внешних и внутренних граней.

1. Площадь передней и задней граней. Каждая из этих граней имеет U-образную форму. Ее площадь можно рассчитать как площадь большого прямоугольника за вычетом площади вырезанного прямоугольника.
$S_{передняя} = S_{задняя} = (3 \times 4) - (1 \times 2) = 12 - 2 = 10$ ед.².
Суммарная площадь передней и задней граней: $2 \times 10 = 20$ ед.².

2. Площадь внешних боковых граней (левой и правой). Это два одинаковых прямоугольника.
$S_{боковые\_внешние} = 2 \times (4 \times 4) = 2 \times 16 = 32$ ед.².

3. Площадь нижней грани. Это прямоугольник.
$S_{нижняя} = 3 \times 4 = 12$ ед.².

4. Площадь верхних граней. Это две прямоугольные полосы по бокам от выреза.
$S_{верхние} = 2 \times (1 \times 4) = 8$ ед.².

5. Площадь внутренних граней (поверхности выреза). Состоит из двух вертикальных стенок и дна выреза.
$S_{внутренние} = 2 \times (\text{высота выреза} \times \text{глубина}) + (\text{ширина выреза} \times \text{глубина})$
$S_{внутренние} = 2 \times (2 \times 4) + (1 \times 4) = 16 + 4 = 20$ ед.².

6. Общая площадь поверхности - это сумма площадей всех найденных частей.
$S_a = (S_{передняя} + S_{задняя}) + S_{боковые\_внешние} + S_{нижняя} + S_{верхние} + S_{внутренние}$
$S_a = 20 + 32 + 12 + 8 + 20 = 92$ ед.².

Ответ: $92$ ед.².

б)

Дано:

Деталь в форме куба со сквозным квадратным отверстием по центру.
Внешние размеры детали (куб): ребро $a = 4$ ед.
Размеры квадратного отверстия: сторона сечения $b = 2$ ед., глубина (высота куба) $h = 4$ ед.

Найти:

Площадь поверхности детали $S_б$.

Решение:

Площадь поверхности детали складывается из площади внешней поверхности и площади внутренней поверхности (стенок отверстия).

1. Площадь внешней поверхности. Она состоит из четырех боковых граней и двух оснований (верхнего и нижнего) с вырезанными в них отверстиями.
Площадь четырех боковых граней: $S_{боковые\_внешние} = 4 \times (4 \times 4) = 64$ ед.².
Площадь верхнего основания (квадрат с квадратным отверстием): $S_{основание} = (4 \times 4) - (2 \times 2) = 16 - 4 = 12$ ед.².
Площадь нижнего основания такая же: $12$ ед.².
Общая площадь внешней поверхности: $S_{внешняя} = 64 + 12 + 12 = 88$ ед.².

2. Площадь внутренней поверхности. Это площадь четырех стенок отверстия. Каждая стенка - прямоугольник.
$S_{внутренняя} = 4 \times (2 \times 4) = 4 \times 8 = 32$ ед.².

3. Общая площадь поверхности детали.
$S_б = S_{внешняя} + S_{внутренняя} = 88 + 32 = 120$ ед.².

Альтернативный способ решения:
Можно найти площадь поверхности исходного сплошного куба, вычесть площадь вырезанных частей (отверстия на верхней и нижней гранях) и добавить площадь образовавшихся внутренних стенок.
Площадь поверхности исходного куба: $S_{куб} = 6 \times a^2 = 6 \times 4^2 = 96$ ед.².
Площадь вырезанных отверстий на верхней и нижней гранях: $S_{вырезано} = 2 \times b^2 = 2 \times 2^2 = 8$ ед.².
Площадь добавленной внутренней поверхности: $S_{добавлено} = 4 \times (b \times h) = 4 \times (2 \times 4) = 32$ ед.².
Итоговая площадь: $S_б = S_{куб} - S_{вырезано} + S_{добавлено} = 96 - 8 + 32 = 120$ ед.².

Ответ: $120$ ед.².

1.23. Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.18.

а)

б)

Рис. 1.18

а)

Дано:
Деталь, составленная из прямоугольных параллелепипедов, с вырезом.
Габаритная длина: $l = 3$ ед.
Габаритная ширина (глубина): $w = 2$ ед.
Габаритная высота: $h = 2$ ед.
Ширина боковых частей: $l_{бок} = 1$ ед.
Ширина выреза: $w_{выр} = 1$ ед.
Высота выреза: $h_{выр} = 1$ ед.

Найти:

Площадь полной поверхности детали $S_a$.

Решение:

Для нахождения площади поверхности детали разобьем ее на три прямоугольных параллелепипеда: два одинаковых боковых (левый и правый) и один центральный нижний.

1. Размеры боковых параллелепипедов (левого $P_Л$ и правого $P_П$):
Длина (ширина на рисунке): $l_1 = 1$ ед.
Ширина (глубина на рисунке): $w_1 = 2$ ед.
Высота: $h_1 = 2$ ед.

2. Размеры центрального нижнего параллелепипеда ($P_Ц$):
Длина (ширина выреза): $l_2 = 1$ ед.
Ширина (глубина на рисунке): $w_2 = 2$ ед.
Высота: $h_2 = h - h_{выр} = 2 - 1 = 1$ ед.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a, b, c$ вычисляется по формуле: $S = 2(ab + ac + bc)$.

3. Вычислим площади поверхностей каждого из трех параллелепипедов:
Площадь поверхности бокового параллелепипеда:
$S_Л = S_П = 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2(2 + 2 + 4) = 2 \cdot 8 = 16$ кв. ед.

Площадь поверхности центрального параллелепипеда:
$S_Ц = 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2(2 + 1 + 2) = 2 \cdot 5 = 10$ кв. ед.

4. Найдем площадь полной поверхности детали.
При соединении параллелепипедов часть их поверхностей становится внутренней и не учитывается в общей площади. Эти поверхности (площади контакта) нужно вычесть. Боковые параллелепипеды соприкасаются с центральным по вертикальным граням.

Площадь одной грани соприкосновения (между левым и центральным, а также правым и центральным) равна произведению глубины на высоту центрального блока: $S_{конт} = w_2 \cdot h_2 = 2 \cdot 1 = 2$ кв. ед.

Поскольку таких соприкосновений два, и в каждом случае мы должны исключить площади с обеих сторон, общая вычитаемая площадь равна $2 \cdot S_{конт} + 2 \cdot S_{конт} = 4 \cdot S_{конт}$. Однако, формула проще: $S_{общ} = S_Л + S_П + S_Ц - 2 \cdot S_{конт1} - 2 \cdot S_{конт2}$.

$S_a = S_Л + S_П + S_Ц - 2 \cdot S_{конт} - 2 \cdot S_{конт} = 16 + 16 + 10 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 42 - 4 - 4 = 34$ кв. ед.

Ответ: $S_a = 34$ кв. ед.

б)

Дано:
Деталь, составленная из двух прямоугольных параллелепипедов.
Габаритные размеры: $2 \times 2 \times 2$ ед.
Задний блок ($P_З$): длина $l_1 = 2$, ширина $w_1=1$, высота $h_1=2$.
Передний блок ($P_П$): длина $l_2 = 2$, ширина $w_2=1$, высота $h_2=1$.

Найти:

Площадь полной поверхности детали $S_б$.

Решение:

Представим деталь как комбинацию двух прямоугольных параллелепипедов: заднего высокого блока и переднего низкого блока.

1. Размеры заднего блока ($P_З$): $2 \times 1 \times 2$.
Размеры переднего блока ($P_П$): $2 \times 1 \times 1$.

2. Вычислим площади поверхностей каждого блока:
Площадь поверхности заднего блока:
$S_З = 2(2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2) = 2(2 + 4 + 2) = 2 \cdot 8 = 16$ кв. ед.

Площадь поверхности переднего блока:
$S_П = 2(2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = 2(2 + 2 + 1) = 2 \cdot 5 = 10$ кв. ед.

3. Найдем площадь полной поверхности детали.
Блоки соприкасаются по вертикальной грани. Площадь этой грани (площадь контакта) нужно вычесть из суммы площадей поверхностей блоков, причем дважды (по одной грани от каждого блока).

Размеры грани соприкосновения определяются длиной блоков и высотой переднего (более низкого) блока: $l_2 \times h_2 = 2 \times 1$.
$S_{конт} = 2 \cdot 1 = 2$ кв. ед.

Общая площадь поверхности детали: $S_б = S_З + S_П - 2 \cdot S_{конт} = 16 + 10 - 2 \cdot 2 = 26 - 4 = 22$ кв. ед.

Ответ: $S_б = 22$ кв. ед.