Номер 2.7, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.7. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина всех ребер равна 1, то есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Найти:

Площадь поверхности пирамиды $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды складывается из площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат $ABCD$. По условию, сторона основания $a = AB = 1$.

Площадь квадрата вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a^2 = 1^2 = 1$

2. Найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырех равных треугольников, так как пирамида правильная. Рассмотрим одну из боковых граней, например, треугольник $SAB$.

По условию, все ребра пирамиды равны 1. Значит, стороны треугольника $SAB$ равны: $SA = 1$, $SB = 1$ и $AB = 1$. Следовательно, треугольник $SAB$ является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим в формулу значение стороны $a = 1$:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех таких равных треугольников:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SAB} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

3. Теперь вычислим площадь полной поверхности пирамиды, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 1 + \sqrt{3}$

Ответ: $1 + \sqrt{3}$.