Номер 2.8, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.8. Найдите площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. рис. 2.10).

Рис. 2.10

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания $a = 1$
Боковое ребро $l = 2$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Вычисление площади основания.

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a = 1$. Площадь правильного шестиугольника можно найти как сумму площадей шести равносторонних треугольников, из которых он состоит.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна: $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставляем значение $a=1$: $S_{\triangle} = \frac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Площадь основания пирамиды: $S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

2. Вычисление площади боковой поверхности.

Боковая поверхность пирамиды состоит из шести одинаковых равнобедренных треугольников. Основание каждого треугольника равно стороне основания пирамиды $a=1$, а боковые стороны равны боковым ребрам $l=2$.

Для нахождения площади одного такого треугольника (боковой грани) $S_{грань}$, найдем его высоту, которая является апофемой пирамиды $h_a$. Рассмотрим боковую грань - равнобедренный треугольник с основанием $a=1$ и боковыми сторонами $l=2$. Высота $h_a$, опущенная на основание, делит его на два равных отрезка по $\frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой $h_a$, половиной основания $\frac{a}{2}$ и боковым ребром $l$: $h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2$

$h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{16-1}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Площадь одной боковой грани: $S_{грань} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Площадь всей боковой поверхности: $S_{бок} = 6 \cdot S_{грань} = 6 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$

3. Вычисление полной площади поверхности.

Теперь сложим площади основания и боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{15}}{2} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{15})}{2}$

Также ответ можно представить в виде: $S_{полн} = \frac{3\sqrt{3}(1 + \sqrt{5})}{2}$

Ответ: $S_{полн} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{15})}{2}$