Номер 3.7, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.7. У правильной четырехугольной пирамиды (рис. 3.8) все ребра равны 1. Найдите сумму плоских углов:

а) трехгранного угла пирамиды;

б) четырехгранного угла пирамиды.

Рис. 3.8

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны 1, то есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Найти:

а) Сумму плоских углов трехгранного угла пирамиды.

б) Сумму плоских углов четырехгранного угла пирамиды.

Решение:

а) трехгранного угла пирамиды;

Трехгранные углы в данной пирамиде находятся при вершинах основания A, B, C и D. В силу симметрии они все одинаковы. Рассмотрим трехгранный угол при вершине A. Он образован тремя плоскими углами: $\angle DAB$ (угол в основании), $\angle SAB$ и $\angle SAD$ (углы в боковых гранях).

1. Основание пирамиды ABCD является квадратом, так как пирамида правильная, и все ребра основания по условию равны 1. Следовательно, угол квадрата $\angle DAB = 90^\circ$.

2. Боковая грань SAB представляет собой треугольник, у которого все стороны равны 1 ($SA=SB=AB=1$). Следовательно, треугольник SAB является равносторонним, и все его углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle SAB = 60^\circ$.

3. Аналогично, боковая грань SAD также является равносторонним треугольником ($SA=SD=AD=1$), поэтому $\angle SAD = 60^\circ$.

Сумма плоских углов трехгранного угла при вершине A равна сумме этих трех углов:

$\angle DAB + \angle SAB + \angle SAD = 90^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 210^\circ$.

Ответ: $210^\circ$

б) четырехгранного угла пирамиды.

Четырехгранный угол в данной пирамиде один, он находится при вершине S. Он образован четырьмя боковыми гранями: SAB, SBC, SCD и SDA. Его плоскими углами являются углы этих граней при вершине S: $\angle ASB, \angle BSC, \angle CSD, \angle DSA$.

Как было установлено в предыдущем пункте, все боковые грани пирамиды являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

Следовательно, все углы при вершине S равны $60^\circ$:

$\angle ASB = 60^\circ$

$\angle BSC = 60^\circ$

$\angle CSD = 60^\circ$

$\angle DSA = 60^\circ$

Сумма плоских углов четырехгранного угла при вершине S равна:

$\angle ASB + \angle BSC + \angle CSD + \angle DSA = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 4 \cdot 60^\circ = 240^\circ$.

Ответ: $240^\circ$