Номер 3.9, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.9. Докажите, что всякий плоский угол четырехгранного угла меньше суммы трех других его плоских углов.

3.10.

Дано:

Четырехгранный угол с вершиной $O$ и лучами (ребрами) $OA, OB, OC, OD$.

Плоские углы этого четырехгранного угла: $\angle AOB, \angle BOC, \angle COD, \angle DOA$.

Доказать:

Любой плоский угол этого четырехгранного угла меньше суммы трех других его плоских углов.

Для определенности, докажем, что $\angle AOD < \angle AOB + \angle BOC + \angle COD$.

Решение:

Рассмотрим данный четырехгранный угол. Проведем плоскость через два несмежных ребра, например, через лучи $OA$ и $OC$. Эта плоскость делит наш четырехгранный угол на два трехгранных угла.

1. Первый трехгранный угол образован лучами $OA, OB, OC$. Его плоские углы: $\angle AOB, \angle BOC$ и $\angle AOC$.

2. Второй трехгранный угол образован лучами $OA, OC, OD$. Его плоские углы: $\angle AOC, \angle COD$ и $\angle DOA$.

Для решения задачи воспользуемся свойством трехгранного угла, которое утверждает, что каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Применим это свойство ко второму трехгранному углу ($OACD$). Для его плоского угла $\angle DOA$ справедливо неравенство:

$\angle DOA < \angle AOC + \angle COD$

Теперь применим это же свойство к первому трехгранному углу ($OABC$). Для его плоского угла $\angle AOC$ справедливо неравенство:

$\angle AOC < \angle AOB + \angle BOC$

Теперь объединим эти два неравенства. Подставим выражение для $\angle AOC$ из второго неравенства в первое. Поскольку мы заменяем $\angle AOC$ на заведомо большую величину $(\angle AOB + \angle BOC)$, знак неравенства сохранится:

$\angle DOA < (\angle AOB + \angle BOC) + \angle COD$

$\angle DOA < \angle AOB + \angle BOC + \angle COD$

Мы доказали, что плоский угол $\angle DOA$ меньше суммы трех других плоских углов. Поскольку выбор угла $\angle DOA$ для доказательства был произвольным, аналогичное рассуждение можно применить к любому другому плоскому углу четырехгранного угла.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Всякий плоский угол четырехгранного угла меньше суммы трех других его плоских углов, что следует из разбиения четырехгранного угла на два трехгранных и применения для них теоремы о сумме плоских углов.