Номер 16.11, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.11. Радиус основания конуса равен 3 см, высота равна 4 см. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:
Радиус основания конуса, $r = 3$ см
Высота конуса, $h = 4$ см

Перевод в систему СИ:
$r = 0.03$ м
$h = 0.04$ м

Найти:
Радиус описанной сферы, $R$

Решение:
Рассмотрим осевое сечение конуса и описанной около него сферы. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением сферы — большая окружность, которая описана около этого треугольника. Радиус этой окружности и будет являться радиусом описанной сферы $R$.

Основание равнобедренного треугольника равно диаметру основания конуса, то есть $2r = 2 \cdot 3 = 6$ см. Высота треугольника равна высоте конуса $h = 4$ см. Боковые стороны треугольника равны образующей конуса $l$.

Найдем длину образующей $l$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса $h$, радиусом его основания $r$ и образующей $l$ (которая является гипотенузой):
$l^2 = h^2 + r^2$
$l^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$l = \sqrt{25} = 5$ см

Существует формула, связывающая радиус $R$ описанной окружности треугольника с его сторонами ($a, b, c$) и площадью ($S$): $R = \frac{abc}{4S}$. В нашем случае стороны треугольника равны $a=l=5$ см, $b=l=5$ см, $c=2r=6$ см. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см$^2$.

Подставим значения в формулу для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} = \frac{150}{48}$

Сократим дробь:
$R = \frac{150 \div 6}{48 \div 6} = \frac{25}{8} = 3.125$ см.

Альтернативный способ (вывод формулы):
Центр описанной сферы $O$ лежит на оси конуса (на высоте треугольника). Пусть $R$ — радиус сферы. Расстояние от центра сферы $O$ до вершины конуса равно $R$. Расстояние от центра сферы $O$ до любой точки на окружности основания конуса также равно $R$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания конуса $r$ и расстояние от центра сферы до центра основания конуса $(h - R)$, а гипотенузой — радиус сферы $R$.
По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$
$R^2 = r^2 + h^2 - 2hR + R^2$
$0 = r^2 + h^2 - 2hR$
$2hR = r^2 + h^2$
Так как $l^2 = r^2 + h^2$, то
$2hR = l^2$
Отсюда $R = \frac{l^2}{2h}$.
Подставим известные значения:
$R = \frac{25}{2 \cdot 4} = \frac{25}{8} = 3.125$ см.

Ответ: радиус описанной сферы равен $3.125$ см.