Номер 16.9, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.9. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной равной 1 см. Найдите радиус:

а) описанной;

б) вписанной сферы.

Дано:

Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник.

Сторона треугольника $a = 1$ см.

$a = 0.01$ м.

Найти:

а) Радиус описанной сферы $R$.

б) Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Задача о нахождении радиусов вписанной и описанной сфер для конуса, у которого осевое сечение является равносторонним треугольником, сводится к задаче о нахождении радиусов вписанной и описанной окружностей для этого треугольника. Центры этих сфер (и окружностей) лежат на оси конуса (на высоте треугольника).

а) описанной

Радиус $R$ сферы, описанной около конуса, равен радиусу окружности, описанной около его осевого сечения — равностороннего треугольника со стороной $a$. Формула для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставляем известное значение стороны $a = 1$ см:

$R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: радиус описанной сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

б) вписанной

Радиус $r$ сферы, вписанной в конус, равен радиусу окружности, вписанной в его осевое сечение — равносторонний треугольник со стороной $a$. Формула для радиуса вписанной окружности равностороннего треугольника:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Подставляем известное значение стороны $a = 1$ см:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

Также можно отметить, что для равностороннего треугольника центр вписанной и описанной окружностей совпадает, и радиус вписанной окружности всегда в два раза меньше радиуса описанной: $r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{3}/3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

Ответ: радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{6}$ см.