Номер 20.6, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.6. Найдите радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром 1 см.

Дано:
Правильный тетраэдр
Длина ребра $a = 1$ см

$a = 0.01$ м

Найти:
Радиус описанной сферы $R$ - ?

Решение:

Радиус $R$ сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром $a$, связан с длиной ребра формулой $R = a \frac{\sqrt{6}}{4}$. Для полноты решения выведем эту формулу.

1. Центр описанной сферы $O$ для правильного тетраэдра совпадает с его центром тяжести (центроидом). Этот центр лежит на высоте тетраэдра $H$ и делит её в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус описанной сферы $R$ равен большему из этих отрезков, то есть $R = \frac{3}{4}H$.

2. Чтобы найти $R$, сначала определим высоту тетраэдра $H$. Пусть основанием тетраэдра является правильный треугольник ABC, а вершиной — точка D. Высота тетраэдра $H$ — это перпендикуляр DM, опущенный из вершины D на плоскость основания ABC. Точка M является центром треугольника ABC.

3. Расстояние от любой вершины основания (например, A) до центра основания M — это радиус окружности, описанной около правильного треугольника ABC. Обозначим его $r_{о}$. Он вычисляется через сторону треугольника $a$ по формуле: $r_{о} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADM. Его гипотенуза — это боковое ребро тетраэдра $AD = a$. Один катет — это расстояние от вершины основания до его центра $AM = r_{о} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Другой катет — это высота тетраэдра $DM = H$.

5. Применим теорему Пифагора к треугольнику ADM: $AD^2 = AM^2 + DM^2$, или $a^2 = r_{о}^2 + H^2$.
Подставим в это уравнение выражение для $r_{о}$:
$a^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 + H^2$
$a^2 = \frac{a^2}{3} + H^2$
Отсюда найдем квадрат высоты:
$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{3a^2 - a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$
Следовательно, высота тетраэдра равна:
$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}}$

6. Теперь, зная высоту $H$, можем найти радиус описанной сферы $R$ из соотношения $R = \frac{3}{4}H$:
$R = \frac{3}{4}H = \frac{3}{4} \cdot a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{3a}{4} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot a \cdot \sqrt{2}}{4 \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}\sqrt{2}}{4} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

7. Подставим в полученную формулу заданное значение длины ребра $a = 1$ см:
$R = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4}$ см.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{6}}{4}$ см.