Номер 27.24, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.24. Разверткой боковой поверхности конуса служит полукруг радиусом 2 см. Найдите объем конуса.

Дано:

Развертка боковой поверхности конуса - полукруг.

Радиус полукруга (развертки), $R_{разв} = 2 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:
$R_{разв} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:

Объем конуса, $V$.

Решение:

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора является образующей конуса ($l$), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса ($C$).

В данном случае разверткой является полукруг радиусом $R_{разв} = 2 \text{ см}$. Следовательно, образующая конуса $l$ равна радиусу этого полукруга:

$l = R_{разв} = 2 \text{ см}$.

Длина дуги полукруга вычисляется по формуле:

$C_{дуги} = \frac{1}{2} \cdot 2 \pi R_{разв} = \pi R_{разв}$

Подставим значение $R_{разв}$:

$C_{дуги} = \pi \cdot 2 = 2\pi \text{ см}$.

Эта длина дуги равна длине окружности основания конуса, которая вычисляется по формуле $C_{осн} = 2 \pi r$, где $r$ - радиус основания конуса.

Приравняем длины:

$2 \pi r = 2\pi$

Отсюда находим радиус основания конуса:

$r = 1 \text{ см}$.

Для нахождения объема конуса нам необходима его высота ($h$). Образующая ($l$), радиус основания ($r$) и высота конуса ($h$) образуют прямоугольный треугольник, где $l$ - гипотенуза. По теореме Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Выразим высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим известные значения $l = 2 \text{ см}$ и $r = 1 \text{ см}$:

$h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь мы можем найти объем конуса по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим значения $r = 1 \text{ см}$ и $h = \sqrt{3} \text{ см}$:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: объем конуса равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3$.