Номер 27.25, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.25. Объем одного конуса равен $1 \text{ см}^3$. Второй конус зеркально-симметричен данному относительно плоскости, проходящей через середину высоты и параллельной основанию этого конуса. Найдите объем общей части этих конусов.

Дано:

Объем первого конуса $V_1 = 1 \text{ см}^3$.

Второй конус зеркально-симметричен данному относительно плоскости, проходящей через середину высоты и параллельной основанию этого конуса.

Найти:

Объем общей части этих конусов $V_{общ}$.

Решение:

Пусть первый конус имеет высоту $H$ и радиус основания $R$. Его объем определяется по формуле:

$V_1 = \frac{1}{3}\pi R^2 H = 1 \text{ см}^3$

Второй конус является зеркальным отражением первого относительно плоскости $\alpha$, которая проходит через середину высоты первого конуса и параллельна его основанию. Это означает, что плоскость $\alpha$ находится на расстоянии $H/2$ от вершины и $H/2$ от основания первого конуса.

В результате такого отражения второй конус будет идентичен первому, но "перевернут" и смещен так, что его вершина будет совпадать с центром основания первого конуса, а его основание будет лежать в той же плоскости, что и вершина первого конуса.

Общая часть двух конусов представляет собой тело, состоящее из двух меньших конусов, соединенных своими основаниями. Эти основания совпадают и лежат в плоскости симметрии $\alpha$.

Рассмотрим один из этих меньших конусов. Например, тот, который является частью первого конуса. Этот меньший конус представляет собой "верхушку" исходного конуса, отсеченную плоскостью $\alpha$.

Высота этого меньшего конуса равна $h_{мал} = H/2$.

Этот меньший конус подобен исходному конусу $V_1$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их высот:

$k = \frac{h_{мал}}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Следовательно, объем меньшего конуса $V_{мал}$ можно выразить через объем исходного конуса $V_1$:

$V_{мал} = k^3 \cdot V_1 = (\frac{1}{2})^3 \cdot V_1 = \frac{1}{8}V_1$

Общая часть двух исходных конусов состоит из двух таких одинаковых малых конусов. Поэтому, чтобы найти общий объем, нужно удвоить объем одного малого конуса:

$V_{общ} = 2 \cdot V_{мал} = 2 \cdot \frac{1}{8}V_1 = \frac{1}{4}V_1$

Подставим известное значение объема первого конуса $V_1 = 1 \text{ см}^3$:

$V_{общ} = \frac{1}{4} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0.25 \text{ см}^3$

Ответ: $0.25 \text{ см}^3$.