Номер 27.19, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.19. Сформулируйте условия на радиусы оснований и образующие двух конусов, при которых эти конусы подобны. Как относятся объемы этих конусов?

Решение

Два конуса называются подобными, если один может быть получен из другого преобразованием подобия (гомотетией). Это означает, что все их соответствующие линейные размеры (радиусы оснований, высоты, образующие) пропорциональны.

Рассмотрим два конуса. Пусть у первого конуса радиус основания $r_1$ и образующая $l_1$. У второго конуса соответствующие параметры равны $r_2$ и $l_2$.

Подобие двух конусов эквивалентно подобию их осевых сечений. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2r$), а боковые стороны равны образующей ($l$).

Для того чтобы два равнобедренных треугольника (осевые сечения) были подобны, необходимо и достаточно, чтобы отношение их оснований было равно отношению их боковых сторон: $ \frac{2r_1}{2r_2} = \frac{l_1}{l_2} $

Упрощая это выражение, мы получаем условие подобия конусов, выраженное через радиусы оснований и образующие: $ \frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2} $

Это означает, что для подобия двух конусов их радиусы оснований и образующие должны быть пропорциональны.

Ответ: Два конуса подобны, если отношение радиусов их оснований равно отношению их образующих: $ \frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2} $.

Теперь найдем отношение объемов подобных конусов. Объем конуса вычисляется по формуле: $ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h $, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса.

Для двух подобных конусов с коэффициентом подобия $k$ отношения их соответствующих линейных размеров равны: $ k = \frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{h_1}{h_2} $

Найдем отношение их объемов $V_1$ и $V_2$: $ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2} = \frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot \left(\frac{h_1}{h_2}\right) $

Подставив в это выражение коэффициент подобия $k$, получим: $ \frac{V_1}{V_2} = k^2 \cdot k = k^3 $

Таким образом, отношение объемов подобных конусов равно кубу коэффициента подобия.

Ответ: Объемы подобных конусов относятся как куб их коэффициента подобия, то есть как куб отношения их соответствующих линейных размеров (например, радиусов оснований или образующих): $ \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^3 $.