Номер 27.15, страница 157 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.15. Объем конуса равен 1 $см^3$. Его высота разделена на три равные части, и через точки деления параллельно основанию проведены плоскости. Найдите объем средней части конуса.

Дано:

Объем конуса $V = 1 \text{ см}^3$

Высота конуса разделена на 3 равные части.

Перевод в СИ: $V = 1 \text{ см}^3 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем средней части конуса $V_{сред}$.

Решение:

Пусть полный объем исходного конуса равен $V$, его высота $H$, а радиус основания $R$. По условию задачи $V = 1 \text{ см}^3$.

Высота конуса разделена на три равные части. Через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Эти плоскости отсекают от исходного конуса два меньших конуса, которые подобны исходному. Обозначим их объемы $V_1$ (самый маленький, верхний конус) и $V_2$ (конус, состоящий из верхней и средней частей).

Высота конуса с объемом $V_1$ равна $h_1 = \frac{1}{3}H$.

Высота конуса с объемом $V_2$ равна $h_2 = \frac{2}{3}H$.

Согласно свойству подобных тел, отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия (который, в свою очередь, равен отношению их соответственных линейных размеров, например, высот).

Найдем объем $V_1$. Коэффициент подобия малого конуса и исходного конуса равен:

$k_1 = \frac{h_1}{H} = \frac{\frac{1}{3}H}{H} = \frac{1}{3}$

Тогда отношение их объемов:

$\frac{V_1}{V} = k_1^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

Следовательно, $V_1 = \frac{1}{27}V$.

Теперь найдем объем $V_2$. Коэффициент подобия этого конуса и исходного равен:

$k_2 = \frac{h_2}{H} = \frac{\frac{2}{3}H}{H} = \frac{2}{3}$

Отношение их объемов:

$\frac{V_2}{V} = k_2^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

Следовательно, $V_2 = \frac{8}{27}V$.

Объем средней части конуса $V_{сред}$ является объемом усеченного конуса и может быть найден как разность объемов $V_2$ и $V_1$.

$V_{сред} = V_2 - V_1 = \frac{8}{27}V - \frac{1}{27}V = \frac{7}{27}V$

Подставим заданное значение полного объема $V = 1 \text{ см}^3$:

$V_{сред} = \frac{7}{27} \cdot 1 \text{ см}^3 = \frac{7}{27} \text{ см}^3$

Ответ: объем средней части конуса равен $\frac{7}{27} \text{ см}^3$.