Номер 27.9, страница 157 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 27. Объемы конуса и усеченного конуса. Глава V. Объемы тел - номер 27.9, страница 157.

Условие.

27.9. Диаметр основания конуса равен 12 см, а угол при вершине осевого сечения — $90^\circ$. Найдите объем конуса.

Решение 2 (rus).

Дано:

Диаметр основания конуса $d = 12$ см

Угол при вершине осевого сечения $\alpha = 90^\circ$

$d = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Объем конуса $V$

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

1. Найдем радиус основания конуса. Радиус равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$

2. Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, у которого основание равно диаметру основания конуса $d$, а угол при вершине равен $\alpha = 90^\circ$. Высота этого треугольника, проведенная к основанию, является высотой конуса $H$.

Эта высота делит осевое сечение на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников катетами являются высота конуса $H$ и радиус основания $R$.

Высота $H$ также является биссектрисой угла при вершине осевого сечения, поэтому угол между высотой $H$ и образующей конуса в этом прямоугольном треугольнике равен $\frac{\alpha}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то третий угол (при основании) равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, полученный прямоугольный треугольник является равнобедренным, и его катеты равны:

$H = R$

Поскольку мы нашли, что $R = 6$ см, то высота конуса также равна $H = 6$ см.

3. Теперь, зная радиус и высоту, можем вычислить объем конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 6 \text{ см}$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 12\pi \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 72\pi \text{ см}^3$

Ответ: $72\pi \text{ см}^3$.