Номер 27.14, страница 157 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.14. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 1 см и высотой 2 см (рис. 27.6). Найдите его объем.

Рис. 27.6

Дано:

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды.

Сторона основания пирамиды, $a = 1$ см.

Высота пирамиды, $h_{пир} = 2$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h_{пир} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем конуса, $V_{кон}$.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

Поскольку конус описан около правильной четырехугольной пирамиды, их вершины совпадают, а высота конуса равна высоте пирамиды.

$H = h_{пир} = 2$ см.

Основание конуса – это круг, который описан около основания пирамиды. Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат. Таким образом, радиус $R$ основания конуса равен радиусу окружности, описанной около квадрата со стороной $a=1$ см.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали $d$. Найдем диагональ квадрата по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставим значение стороны квадрата $a=1$ см:

$d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус основания конуса:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь у нас есть все данные для вычисления объема конуса. Подставим значения $R$ и $H$ в формулу объема:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 2$

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2}{4}\right) \cdot 2$

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 2$

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см³.

Ответ: $V_{кон} = \frac{\pi}{3}$ см³.