Номер 27.10, страница 157 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.10. Осевым сечением конуса служит равнобедренный прямоугольный треугольник площадью $9 \text{ см}^2$. Найдите объем конуса.

Дано:

Конус, у которого осевое сечение является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Площадь осевого сечения $S_{сеч} = 9 \text{ см}^2$.

$S_{сеч} = 9 \text{ см}^2 = 9 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 9 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Объем конуса $V$.

Решение:

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса $D$, а боковыми сторонами — образующие конуса $l$. Высота этого треугольника, проведенная к основанию, является высотой конуса $H$.

Согласно условию, осевое сечение — это равнобедренный прямоугольный треугольник. Прямой угол в таком треугольнике может быть только при вершине конуса (между образующими), поскольку углы при основании равны. Таким образом, образующие $l$ являются катетами этого прямоугольного треугольника, а диаметр основания $D$ — его гипотенузой.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения его катетов. В нашем случае:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l = \frac{1}{2}l^2$

Также площадь этого треугольника можно выразить через основание (диаметр $D$) и высоту $H$:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} D \cdot H$

Поскольку $D = 2R$ (где $R$ — радиус основания конуса), то:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} (2R) \cdot H = R \cdot H$

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В нашем случае высота конуса $H$ является высотой осевого сечения, проведенной к гипотенузе $D$. Следовательно:

$H = \frac{D}{2} = R$

Теперь подставим соотношение $H=R$ в формулу площади $S_{сеч} = R \cdot H$:

$S_{сеч} = R \cdot R = R^2$

Из условия мы знаем, что $S_{сеч} = 9 \text{ см}^2$. Значит:

$R^2 = 9 \text{ см}^2$

$R = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$

Так как $H = R$, то высота конуса также равна 3 см:

$H = 3 \text{ см}$

Теперь мы можем найти объем конуса по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (3 \text{ см})^2 \cdot (3 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 9\pi \text{ см}^3$

Ответ: $9\pi \text{ см}^3$.