Номер 27.23, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.23. Равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны 1 см, а угол между ними равен $120^\circ$, вращается вокруг прямой, содержащей одну из боковых сторон. Найдите объем тела вращения.

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.

Длина боковых сторон: $AB = AC = l = 1$ см.

Угол между боковыми сторонами: $\angle BAC = \alpha = 120^\circ$.

Ось вращения — прямая, содержащая сторону $AB$.

$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Для удобства вычислений будем использовать сантиметры.

Тело вращения образуется при вращении равнобедренного треугольника $ABC$ вокруг прямой, содержащей одну из его боковых сторон, в данном случае $AB$.

Опустим из вершины $C$ перпендикуляр $CH$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Поскольку угол при вершине $A$ тупой ($\angle BAC = 120^\circ > 90^\circ$), основание перпендикуляра, точка $H$, будет лежать на продолжении стороны $AB$ за точку $A$.

Объем полученного тела вращения можно представить как разность объемов двух конусов. Первый (больший) конус образуется вращением прямоугольного треугольника $BHC$ вокруг катета $BH$. Второй (меньший) конус образуется вращением прямоугольного треугольника $AHC$ вокруг катета $AH$. Оба конуса имеют общее основание — круг радиусом $R=CH$.

Найдем радиус $R$ и высоты конусов. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Угол $\angle CAH$ является смежным с углом $\angle BAC$, поэтому:

$\angle CAH = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ гипотенуза $AC = l = 1$ см. Найдем катеты:

Радиус оснований конусов:

$R = CH = AC \cdot \sin(\angle CAH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Высота меньшего конуса:

$h_1 = AH = AC \cdot \cos(\angle CAH) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Высота большего конуса равна сумме длины стороны $AB$ и отрезка $AH$:

$h_2 = BH = AB + AH = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ см.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$.

Искомый объем тела вращения $V$ равен разности объемов большего ($V_2$) и меньшего ($V_1$) конусов:

$V = V_2 - V_1 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 - \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_2 - h_1)$.

Разность высот равна длине стороны $AB$:

$h_2 - h_1 = BH - AH = AB = l = 1$ см.

Подставим значения в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi}{4}$ см$^3$.