Номер 27.27, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.27. Найдите объем кучи песка на строительной площадке, имеющей форму конуса (рис. 27.9). Измерив мягкой метровой лентой длину окружности основания кучи песка, получили 21,6 м. Перекинув метровую ленту через вершину кучи, определили длину двух образующих — 7,8 м. (Примите $ \pi \approx 3 $).

Рис. 27.9

Дано:

Куча песка имеет форму конуса.

Длина окружности основания, $C = 21,6$ м

Длина двух образующих, $2l = 7,8$ м

$\pi \approx 3$

Найти:

Объем кучи песка, $V$

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

где $r$ - радиус основания конуса, а $h$ - его высота.

Для нахождения объема нам необходимо определить радиус $r$ и высоту $h$ конуса.

1. Найдем длину одной образующей конуса ($l$). Из условия известно, что длина двух образующих, измеренная лентой через вершину, составляет 7,8 м. Следовательно, длина одной образующей равна половине этого значения:

$l = \frac{7,8 \text{ м}}{2} = 3,9 \text{ м}$

2. Найдем радиус основания конуса ($r$). Мы знаем длину окружности основания $C = 21,6$ м. Формула длины окружности: $C = 2 \pi r$. Выразим из нее радиус:

$r = \frac{C}{2 \pi}$

Подставим известные значения, используя приближение $\pi \approx 3$:

$r = \frac{21,6}{2 \cdot 3} = \frac{21,6}{6} = 3,6 \text{ м}$

3. Найдем высоту конуса ($h$). Образующая ($l$), радиус ($r$) и высота ($h$) конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Выразим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - r^2$

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим найденные значения $l$ и $r$:

$h = \sqrt{(3,9)^2 - (3,6)^2} = \sqrt{15,21 - 12,96} = \sqrt{2,25} = 1,5 \text{ м}$

4. Теперь, зная все необходимые величины, можем вычислить объем конуса ($V$):

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (3,6)^2 \cdot 1,5$

$V = 1 \cdot 12,96 \cdot 1,5 = 19,44 \text{ м}^3$

Ответ: объем кучи песка составляет $19,44 \text{ м}^3$.