Номер 13, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки B до прямой $A_1 F_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ – правильная шестиугольная.

Длина всех ребер равна 1 см.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1F_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Для удобства будем вести все расчеты в сантиметрах.

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре $O$ нижнего основания призмы. Ось $Ox$ направим вдоль отрезка $OA$, ось $Oy$ — перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$.

Поскольку призма правильная, ее основание $ABCDEF$ — это правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершин равно стороне, т.е. $R=a=1$. Высота призмы также равна 1.

Найдем координаты необходимых точек:

1. Точка $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$ на расстоянии $R=1$ от начала координат, поэтому ее координаты $A(1, 0, 0)$.

2. Точка $B$ получается поворотом точки $A$ на угол $60^\circ$ вокруг оси $Oz$. Ее координаты:$x_B = R \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$y_B = R \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$z_B = 0$Таким образом, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

3. Точка $F_1$ лежит в верхнем основании ($z=1$). Координаты ее проекции, точки $F$, получаются поворотом точки $A$ на угол $-60^\circ$ вокруг оси $Oz$:$x_F = R \cos(-60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$y_F = R \sin(-60^\circ) = 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$Поскольку $F_1$ находится над $F$ на высоте 1, ее координаты $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

4. Точка $A_1$ находится над точкой $A$ на высоте 1, поэтому ее координаты $A_1(1, 0, 1)$.

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $A_1F_1$ найдем по формуле расстояния от точки до прямой в пространстве:

$d = \frac{|\vec{A_1B} \times \vec{A_1F_1}|}{|\vec{A_1F_1}|}$

Найдем координаты векторов $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1F_1}$:

$\vec{A_1B} = B - A_1 = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 1) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$

$\vec{A_1F_1} = F_1 - A_1 = (\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 1) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Теперь найдем их векторное произведение:

$\vec{A_1B} \times \vec{A_1F_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - (-1) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \vec{j}(-\frac{1}{2} \cdot 0 - (-1) \cdot (-\frac{1}{2})) + \vec{k}((-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2})) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \frac{1}{2}\vec{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{k}$

Координаты вектора-произведения: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{A_1B} \times \vec{A_1F_1}| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Найдем модуль вектора $\vec{A_1F_1}$ (знаменатель дроби):

$|\vec{A_1F_1}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$

Это логично, так как $A_1F_1$ - это сторона основания, длина которой равна 1.

Вычисляем искомое расстояние:

$d = \frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Ответ: расстояние от точки $B$ до прямой $A_1F_1$ равно $\frac{\sqrt{7}}{2}$ см.