Номер 16, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $BB_1$, отстоящую от вершины B на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, следовательно, длина его ребра $a=1$.
Секущая плоскость проходит через три точки:

• $K$ — середина ребра $AA_1$.
• $L$ — середина ребра $CC_1$.
• $M$ — точка на ребре $BB_1$, отстоящая от вершины $B$ на $0,25$, т.е. $BM = 0,25$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения и определение его вида.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $A$, а оси направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Координаты вершин куба будут следующими:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C(1,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $D_1(0,1,1)$, $C_1(1,1,1)$

Найдем координаты заданных точек $K$, $L$ и $M$.

• Точка $K$ — середина ребра $AA_1$. Ее координаты: $K\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = K\left(0, 0, \frac{1}{2}\right)$.
• Точка $L$ — середина ребра $CC_1$. Ее координаты: $L\left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = L\left(1, 1, \frac{1}{2}\right)$.
• Точка $M$ лежит на ребре $BB_1$ на расстоянии $0,25$ от $B$. Координаты $B(1,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$. Движение от $B$ к $B_1$ происходит вдоль оси $z$. Следовательно, координаты точки $M$: $M\left(1, 0, 0 + \frac{1}{4}\right) = M\left(1, 0, \frac{1}{4}\right)$.

Чтобы построить сечение, необходимо найти все точки его пересечения с ребрами куба. У нас есть три точки $K$, $L$, $M$. Заметим, что точки $K$ и $L$ являются серединами противоположных ребер $AA_1$ и $CC_1$. Прямая $KL$ проходит через центр куба $O(1/2, 1/2, 1/2)$. Это означает, что сечение будет центрально-симметричным относительно центра куба.

Следовательно, сечение является параллелограммом. Четвертая вершина сечения, назовем ее $N$, должна лежать на ребре $DD_1$, противоположном ребру $BB_1$, на котором лежит точка $M$. Точка $N$ должна быть симметрична точке $M$ относительно центра куба $O$. Найдем ее координаты:

$O = \frac{M+N}{2} \implies N = 2O - M$
$N_x = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0$
$N_y = 2 \cdot \frac{1}{2} - 0 = 1$
$N_z = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
Таким образом, $N\left(0, 1, \frac{3}{4}\right)$. Эта точка действительно лежит на ребре $DD_1$ (для которого $x=0, y=1$ и $0 \le z \le 1$).

Итак, сечение — это четырехугольник $KMLN$. Поскольку он центрально-симметричен, это параллелограмм. Проверим, является ли он ромбом, сравнив длины смежных сторон $KM$ и $KN$.

Найдем векторы сторон:

$\vec{KM} = M - K = \left(1-0, 0-0, \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) = \left(1, 0, -\frac{1}{4}\right)$

$\vec{KN} = N - K = \left(0-0, 1-0, \frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right) = \left(0, 1, \frac{1}{4}\right)$

Найдем квадраты длин сторон:

$|\vec{KM}|^2 = 1^2 + 0^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 + \frac{1}{16} = \frac{17}{16}$

$|\vec{KN}|^2 = 0^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 + \frac{1}{16} = \frac{17}{16}$

Так как $|\vec{KM}| = |\vec{KN}|$, смежные стороны параллелограмма равны. Следовательно, сечение $KMLN$ является ромбом.

2. Вычисление площади сечения.

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей. Найдем длины диагоналей $KL$ и $MN$.

Вектор диагонали $\vec{KL}$:$\vec{KL} = L - K = (1-0, 1-0, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}) = (1, 1, 0)$

Длина диагонали $d_1 = |\vec{KL}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.

Вектор диагонали $\vec{MN}$:$\vec{MN} = N - M = \left(0-1, 1-0, \frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right) = \left(-1, 1, \frac{1}{2}\right)$

Длина диагонали $d_2 = |\vec{MN}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{2 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Теперь вычислим площадь ромба:

$S_{KMLN} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь также можно найти через векторное произведение векторов смежных сторон $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$. Площадь параллелограмма равна модулю их векторного произведения.

$\vec{KM} \times \vec{KN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1/4 \\ 0 & 1 & 1/4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\left(0 \cdot \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot 1\right) - \mathbf{j}\left(1 \cdot \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot 0\right) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = \frac{1}{4}\mathbf{i} - \frac{1}{4}\mathbf{j} + 1\mathbf{k}$

$S = |\vec{KM} \times \vec{KN}| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{2}{16} + 1} = \sqrt{\frac{1}{8} + 1} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.