Номер 19, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через середины ребер $AA_1, BB_1 \text{ и } AC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1 см.

Сечение проходит через точки K, L, M, где:

• K - середина ребра $AA_1$
• L - середина ребра $BB_1$
• M - середина ребра $A_1C_1$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.

Соединим точки K и L, так как они лежат в одной грани $ABB_1A_1$. Отрезок KL - след сечения на этой грани.

Поскольку призма правильная, боковые грани перпендикулярны основаниям, а ребра $AA_1$ и $BB_1$ параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник $ABB_1A_1$ - квадрат со стороной 1 см. KL соединяет середины боковых сторон $AA_1$ и $BB_1$, значит KL параллельна основаниям $AB$ и $A_1B_1$ и равна им по длине. $KL || A_1B_1$ и $KL = 1$ см.

Секущая плоскость проходит через прямую KL, параллельную плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. По свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения секущей плоскости с плоскостью $A_1B_1C_1$ будет параллельна прямой KL, а значит и прямой $A_1B_1$.

Проведем через точку M (середину $A_1C_1$) прямую, параллельную $A_1B_1$, до пересечения с ребром $B_1C_1$ в точке N. В треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок MN является средней линией, так как $M$ - середина $A_1C_1$ и $MN || A_1B_1$. Следовательно, N - середина ребра $B_1C_1$, а длина MN равна половине длины $A_1B_1$: $MN = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Соединив последовательно точки K, L, N и M, получим сечение - четырехугольник KLNM.

2. Определение вида сечения и нахождение длин его сторон.

Мы установили, что $KL || MN$. Следовательно, четырехугольник KLNM - трапеция. Основания трапеции: $KL = 1$ см и $MN = 0.5$ см.

Найдем длины боковых сторон LM и KN. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в пространстве.

Для стороны KN: спроецируем отрезок KN на плоскость нижнего основания ABC. Проекцией точки K будет точка A, а проекцией точки N (середины $B_1C_1$) будет точка N' (середина BC). Проекцией отрезка KN является отрезок AN'. AN' - медиана в равностороннем треугольнике ABC со стороной 1. Ее длина: $AN' = \sqrt{AB^2 - BN'^2} = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Разность высот точек K и N равна разности высот точек A и N (относительно нижнего основания). Точка K находится на высоте $AK = 1/2$ см, а точка N - на высоте 1 см. Разность высот $\Delta z = 1 - 1/2 = 1/2$ см.

По теореме Пифагора: $KN^2 = (AN')^2 + (\Delta z)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$. Отсюда $KN = 1$ см.

Аналогично для стороны LM: ее проекция на основание - отрезок BM', где M' - середина AC. BM' также является медианой и ее длина равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Разность высот точек L и M также равна $1/2$ см. Следовательно, $LM^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1$, и $LM = 1$ см.

Так как боковые стороны $KN = LM = 1$ см, трапеция KLNM является равнобокой.

3. Нахождение площади трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания, а $h$ - высота.

$a = KL = 1$ см, $b = MN = 0.5$ см.

Найдем высоту трапеции $h$. В равнобокой трапеции KLNM проведем высоту NH' из вершины N к основанию KL. В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и частью основания, катет H'L можно найти по формуле $H'L = \frac{KL - MN}{2} = \frac{1 - 0.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25$ см. Однако, эта формула справедлива только для плоских трапеций, где проекция боковой стороны на основание равна этому значению. В нашем случае трапеция находится в наклонной плоскости, поэтому найдем высоту через пространственные координаты.

Введем систему координат: $A(0,0,0), B(1,0,0), C(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Тогда $A_1(0,0,1), B_1(1,0,1), C_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Координаты вершин сечения:

$K(0, 0, 1/2)$, $L(1, 0, 1/2)$, $M(1/4, \sqrt{3}/4, 1)$.

Высота трапеции $h$ - это расстояние от точки M до прямой KL. Найдем ее как высоту треугольника KLM, опущенную из вершины M на сторону KL. Площадь треугольника KLM можно найти через векторное произведение: $S_{\triangle KLM} = \frac{1}{2} |\vec{KL} \times \vec{KM}|$. Также $S_{\triangle KLM} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{KL}| \cdot h$.

Отсюда $h = \frac{|\vec{KL} \times \vec{KM}|}{|\vec{KL}|}$.

$\vec{KL} = (1-0, 0-0, 1/2-1/2) = (1, 0, 0)$.

$\vec{KM} = (1/4-0, \sqrt{3}/4-0, 1-1/2) = (1/4, \sqrt{3}/4, 1/2)$.

$\vec{KL} \times \vec{KM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1/4 & \sqrt{3}/4 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-0) - \mathbf{j}(1/2-0) + \mathbf{k}(\sqrt{3}/4-0) = (0, -1/2, \sqrt{3}/4)$.

$|\vec{KL} \times \vec{KM}| = \sqrt{0^2 + (-1/2)^2 + (\sqrt{3}/4)^2} = \sqrt{1/4 + 3/16} = \sqrt{4/16 + 3/16} = \sqrt{7/16} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

$|\vec{KL}| = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = 1$.

$h = \frac{\sqrt{7}/4}{1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ см.

Теперь можем найти площадь трапеции:

$S_{KLNM} = \frac{KL + MN}{2} \cdot h = \frac{1 + 0.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{1.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$ см².

Ответ: Площадь сечения равна $ \frac{3\sqrt{7}}{16} $ см².