Номер 26, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны $1 \text{ см}$, проходящее через вершины $A, B$ и середину ребра $A_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная.
Длина ребра основания: $AB = BC = AC = 1$ см.
Длина бокового ребра: $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$ см.
Сечение проходит через вершины $A, B$ и точку $M$ — середину ребра $A_1C_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.
Обозначим точку $M$ как середину ребра $A_1C_1$. Секущая плоскость проходит через три точки: $A$, $B$ и $M$. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости нижнего основания $(ABC)$, поэтому отрезок $AB$ является стороной сечения. Плоскости оснований призмы $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны. Секущая плоскость $(ABM)$ пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — прямая $AB$. Следовательно, линия пересечения с верхним основанием будет проходить через точку $M$ параллельно прямой $AB$. Так как призма правильная, то $AB$ || $A_1B_1$. Значит, в плоскости верхнего основания проведем прямую через точку $M$ параллельно $A_1B_1$. Эта прямая пересечет ребро $B_1C_1$ в некоторой точке $N$. Полученный четырехугольник $ABNM$ и есть искомое сечение.

2. Определение вида сечения и нахождение длин его сторон.
По построению $MN$ || $AB$, следовательно, четырехугольник $ABNM$ — это трапеция. Найдем длины ее сторон:

- Основание $AB$ является ребром призмы, поэтому $AB = 1$ см.

- Для нахождения длины основания $MN$ рассмотрим верхнее основание — равносторонний треугольник $A_1B_1C_1$ со стороной 1. Точка $M$ — середина стороны $A_1C_1$. Так как $MN$ || $A_1B_1$, то по теореме Фалеса (или из подобия треугольников $C_1MN$ и $C_1A_1B_1$), точка $N$ является серединой стороны $B_1C_1$. Таким образом, $MN$ — средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$ относительно стороны $A_1B_1$. Ее длина равна: $MN = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

- Найдем длину боковой стороны $AM$. Рассмотрим грань $AA_1C_1C$. Так как призма правильная и все ребра равны 1 см, эта грань является квадратом со стороной 1. Точка $M$ — середина стороны $A_1C_1$. В прямоугольном треугольнике $AA_1M$ (с прямым углом $A_1$) катет $AA_1 = 1$ см, катет $A_1M = \frac{1}{2}A_1C_1 = 0.5$ см. По теореме Пифагора: $AM^2 = AA_1^2 + A_1M^2 = 1^2 + (0.5)^2 = 1 + 0.25 = 1.25 = \frac{5}{4}$ $AM = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

- Аналогично найдем длину боковой стороны $BN$. Грань $BB_1C_1C$ — также квадрат со стороной 1, а $N$ — середина стороны $B_1C_1$. Из прямоугольного треугольника $BB_1N$: $BN^2 = BB_1^2 + B_1N^2 = 1^2 + (0.5)^2 = \frac{5}{4}$ $BN = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

- Так как $AM = BN$, трапеция $ABNM$ является равнобедренной.

3. Вычисление площади сечения.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Основания трапеции $AB = 1$ см и $MN = 0.5$ см. Найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту $MH'$ из вершины $M$ на основание $AB$. В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований: $AH' = \frac{AB - MN}{2} = \frac{1 - 0.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMH'$. По теореме Пифагора найдем высоту $h = MH'$: $h^2 = AM^2 - (AH')^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1}{4})^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{16} = \frac{20}{16} - \frac{1}{16} = \frac{19}{16}$ $h = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции $ABNM$: $S_{сеч} = \frac{AB + MN}{2} \cdot h = \frac{1 + 0.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{1.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3\sqrt{19}}{16}$ см².

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{19}}{16}$ см².