Номер 33, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вершины $A_1$ на будет найдите его площадь.

33. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$, $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра куба $a = 1$ (единичный куб)

Секущая плоскость проходит через середины ребер $AB$, $BC$, $CC_1$.

Найти:

Изобразить (построить) сечение и найти его площадь $S_{сеч}$.

Решение:

Построение сечения

Обозначим середины ребер $AB$, $BC$, $CC_1$ как точки $K$, $L$ и $M$ соответственно.

1. Точки $K$ и $L$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединяем их отрезком $KL$. Это след секущей плоскости на грани $ABCD$.

2. Точки $L$ и $M$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединяем их отрезком $LM$. Это след секущей плоскости на грани $BCC_1B_1$.

3. Для дальнейшего построения воспользуемся свойством параллельных граней: секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым.

4. Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром $C_1D_1$. Грань $ABB_1A_1$ (передняя) параллельна грани $DCC_1D_1$ (задняя). Значит, след сечения на задней грани должен быть параллелен следу на передней грани. Найдем этот след. След на грани $ABB_1A_1$ должен проходить через точку $K$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $KL$. Эта логика неверна, так как $K$ и $M$ не лежат в одной грани, параллельной $ABCD$.

Правильный ход построения следующий: сечение должно быть замкнутым многоугольником. Найдем его остальные вершины.

- Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Значит, секущая плоскость пересекает грань $ADD_1A_1$ по прямой, параллельной $LM$.

- Грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна грани $ABCD$. Значит, секущая плоскость пересекает грань $A_1B_1C_1D_1$ по прямой, параллельной $KL$.

- В результате последовательного применения этих свойств мы обнаружим, что секущая плоскость пересекает 6 ребер куба в их серединах. Вершинами сечения будут точки:

• $K$ - середина $AB$

• $L$ - середина $BC$

• $M$ - середина $CC_1$

• $N$ - середина $C_1D_1$ (так как $MN \parallel KL$, что неверно, $MN$ не параллельно $KL$. Сечение на грани $DCC_1D_1$ будет параллельно сечению на $ABB_1A_1$).

Верный ход построения: из точки $M$ на задней грани $DCC_1D_1$ проводим прямую, параллельную следу на передней грани $ABB_1A_1$. Этим следом будет отрезок $QK$. Из точки $K$ на передней грани проводим прямую, параллельную следу на задней грани $MN$. Из симметрии задачи следует, что искомое сечение — это шестиугольник $KLMNPQ$, вершины которого являются серединами ребер $AB$, $BC$, $CC_1$, $C_1D_1$, $D_1A_1$, $A_1A$.

Таким образом, сечение представляет собой шестиугольник $KLMNPQ$.

Нахождение площади сечения

Найденное сечение — шестиугольник $KLMNPQ$. Определим его вид и размеры.

1. Найдем длину одной из его сторон, например, $KL$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KBL$ в основании куба. $K$ — середина $AB$, $L$ — середина $BC$. Так как ребро куба $a=1$, то катеты $BK = 1/2$ и $BL = 1/2$.

По теореме Пифагора:

$KL^2 = BK^2 + BL^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2$

$KL = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $LCM$ в грани $BCC_1B_1$. $L$ — середина $BC$, значит $LC = BC - BL = 1 - 1/2 = 1/2$. $M$ — середина $CC_1$, значит $CM = 1/2$.

$LM^2 = LC^2 + CM^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/2$

$LM = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. В силу симметрии куба и выбора точек, все стороны шестиугольника будут равны. Длина каждой стороны $s = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Данный шестиугольник является правильным. Это можно доказать, например, посчитав его углы (все они равны $120^\circ$) или показав, что он вписан в окружность с центром, совпадающим с центром куба. Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$

5. Подставим в формулу найденное значение длины стороны $s = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$S_{сеч} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Ответ: Сечением является правильный шестиугольник, вершины которого — середины ребер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1, AA_1$. Площадь этого сечения равна $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ кв. ед.