Номер 32, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

32. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является единичным, следовательно, длина его ребра $a = 1$.
Точка $E$ — середина ребра $AA_1$.
Точка $F$ — середина ребра $CC_1$.
Точка $G$ лежит на ребре $AB$ и расстояние от вершины $A$ до точки $G$ равно $0.25$, то есть $AG = 0.25$.

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение:

Для решения задачи введем трехмерную систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:
$A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $C(1, 1, 0)$, $D(0, 1, 0)$,
$A_1(0, 0, 1)$, $B_1(1, 0, 1)$, $C_1(1, 1, 1)$, $D_1(0, 1, 1)$.

Найдем координаты заданных точек, через которые проходит плоскость сечения:

• Точка $E$ — середина $AA_1$. Ее координаты: $E(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = E(0, 0, 0.5)$.
• Точка $F$ — середина $CC_1$. Ее координаты: $F(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = F(1, 1, 0.5)$.
• Точка $G$ лежит на ребре $AB$ и $AG = 0.25$. Ее координаты: $G(0.25, 0, 0)$.

Построение сечения

Сечение строится путем нахождения точек пересечения секущей плоскости с ребрами куба. Составим уравнение плоскости, проходящей через точки $E$, $F$ и $G$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:$\vec{EG} = G - E = (0.25-0, 0-0, 0-0.5) = (0.25, 0, -0.5)$.$\vec{EF} = F - E = (1-0, 1-0, 0.5-0.5) = (1, 1, 0)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости сечения можно найти как векторное произведение векторов $\vec{EG}$ и $\vec{EF}$:$\vec{n} = \vec{EG} \times \vec{EF} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0.25 & 0 & -0.5 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - (-0.5) \cdot 1) - \vec{j}(0.25 \cdot 0 - (-0.5) \cdot 1) + \vec{k}(0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = 0.5\vec{i} - 0.5\vec{j} + 0.25\vec{k}$.В качестве нормального вектора можно взять коллинеарный ему вектор, умножив координаты на 4: $\vec{n'} = (2, -2, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $2x - 2y + z + D = 0$. Для нахождения коэффициента $D$ подставим координаты точки $E(0, 0, 0.5)$ в уравнение:$2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 0.5 + D = 0 \Rightarrow D = -0.5$.Таким образом, уравнение плоскости сечения: $2x - 2y + z - 0.5 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Вершинами сечения будут точки, лежащие на ребрах.

• На ребре $AB$ ($y=0, z=0$): $2x - 0.5 = 0 \Rightarrow x=0.25$. Это точка $G(0.25, 0, 0)$.
• На ребре $BC$ ($x=1, z=0$): $2(1) - 2y - 0.5 = 0 \Rightarrow 1.5 - 2y = 0 \Rightarrow y=0.75$. Точка $H(1, 0.75, 0)$.
• На ребре $CC_1$ ($x=1, y=1$): $2(1) - 2(1) + z - 0.5 = 0 \Rightarrow z=0.5$. Это точка $F(1, 1, 0.5)$.
• На ребре $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x - 2(1) + 1 - 0.5 = 0 \Rightarrow 2x - 1.5 = 0 \Rightarrow x=0.75$. Точка $L(0.75, 1, 1)$.
• На ребре $A_1D_1$ ($x=0, z=1$): $-2y + 1 - 0.5 = 0 \Rightarrow 0.5 - 2y = 0 \Rightarrow y=0.25$. Точка $K(0, 0.25, 1)$.
• На ребре $AA_1$ ($x=0, y=0$): $z - 0.5 = 0 \Rightarrow z=0.5$. Это точка $E(0, 0, 0.5)$.

Сечением является шестиугольник с вершинами $G(0.25, 0, 0)$, $H(1, 0.75, 0)$, $F(1, 1, 0.5)$, $L(0.75, 1, 1)$, $K(0, 0.25, 1)$, $E(0, 0, 0.5)$.

Вычисление площади сечения

Для нахождения площади шестиугольника воспользуемся методом ортогональной проекции. Площадь сечения $S$ связана с площадью его проекции $S_{пр}$ на плоскость $Oxy$ формулой:$S = \frac{S_{пр}}{|\cos\gamma|}$, где $\gamma$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции $Oxy$.

Угол $\gamma$ равен углу между нормальными векторами этих плоскостей. Нормальный вектор плоскости сечения $\vec{n'} = (2, -2, 1)$. Нормальный вектор плоскости $Oxy$ — $\vec{k} = (0, 0, 1)$.$|\cos\gamma| = \frac{|\vec{n'} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n'}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|2 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{4+4+1} \cdot 1} = \frac{1}{3}$.

Найдем площадь проекции сечения на плоскость $Oxy$. Координаты вершин проекции $G'H'F'L'K'E'$:$G'(0.25, 0)$, $H'(1, 0.75)$, $F'(1, 1)$, $L'(0.75, 1)$, $K'(0, 0.25)$, $E'(0, 0)$.

Проекция представляет собой единичный квадрат $ABCD$ (в плоскости $Oxy$ это квадрат с вершинами $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$), из которого вырезаны два прямоугольных треугольника.

1. Треугольник с вершинами $B(1,0)$, $G'(0.25,0)$ и $H'(1,0.75)$. Это прямоугольный треугольник с вершиной прямого угла в точке $(1,0)$. Его катеты равны $1 - 0.25 = 0.75$ и $0.75 - 0 = 0.75$. Площадь первого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 0.75 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{32}$.
2. Треугольник с вершинами $D(0,1)$, $K'(0,0.25)$ и $L'(0.75,1)$. Это прямоугольный треугольник с вершиной прямого угла в точке $(0,1)$. Его катеты равны $1 - 0.25 = 0.75$ и $0.75 - 0 = 0.75$. Площадь второго треугольника: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 0.75 = \frac{9}{32}$.

Площадь проекции шестиугольника равна площади единичного квадрата ($S_{кв} = 1 \cdot 1 = 1$) минус площади двух вырезанных треугольников:$S_{пр} = S_{кв} - S_1 - S_2 = 1 - \frac{9}{32} - \frac{9}{32} = 1 - \frac{18}{32} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.

Теперь можем найти площадь самого сечения:$S = \frac{S_{пр}}{|\cos\gamma|} = \frac{7/16}{1/3} = \frac{7}{16} \cdot 3 = \frac{21}{16}$.

Ответ: $S = \frac{21}{16}$.