Номер 29, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $D_1$ и середины ребер $AB$, $BC$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является единичным, следовательно, длина его ребра $a=1$.

Секущая плоскость проходит через три точки:

• вершину $D_1$;
• середину ребра $AB$, обозначим ее $K$;
• середину ребра $BC$, обозначим ее $L$.

Найти:

1. Изобразить (построить) сечение.
2. Площадь этого сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения

Для построения сечения и проведения расчетов введем трехмерную систему координат. Поместим начало координат в вершину $D(0,0,0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $DA$, ось $Oy$ вдоль $DC$, ось $Oz$ вдоль $DD_1$.

Поскольку куб единичный, координаты его вершин будут:

$A(1,0,0)$, $B(1,1,0)$, $C(0,1,0)$, $D(0,0,0)$

$A_1(1,0,1)$, $B_1(1,1,1)$, $C_1(0,1,1)$, $D_1(0,0,1)$

Найдем координаты точек, через которые проходит секущая плоскость:

• Вершина $D_1$ имеет координаты $(0,0,1)$.
• Точка $K$ — середина $AB$: $K = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 0)$.
• Точка $L$ — середина $BC$: $L = (\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, 1, 0)$.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки $D_1(0,0,1)$, $K(1, \frac{1}{2}, 0)$ и $L(\frac{1}{2}, 1, 0)$. Общий вид уравнения плоскости: $ax+by+cz=d$.

Подставляя координаты точек, получаем систему уравнений:

$a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 1 = d \implies c = d$

$a \cdot 1 + b \cdot \frac{1}{2} + c \cdot 0 = d \implies a + \frac{b}{2} = d$

$a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot 1 + c \cdot 0 = d \implies \frac{a}{2} + b = d$

Из второго и третьего уравнений ($a + \frac{b}{2} = \frac{a}{2} + b$) следует, что $a=b$. Подставив $a=b$ во второе уравнение, получим $a + \frac{a}{2} = d \implies \frac{3a}{2}=d \implies a = \frac{2d}{3}$.

Таким образом, $a = b = \frac{2d}{3}$ и $c=d$. Уравнение плоскости: $\frac{2d}{3}x + \frac{2d}{3}y + dz = d$. Разделив на $d$ (при $d \ne 0$), получаем $\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}y + z = 1$, или:

$2x + 2y + 3z = 3$

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, чтобы определить вершины многоугольника, являющегося сечением.

• Ребро $AB$ ($x=1, z=0$): $2(1)+2y+3(0)=3 \implies y=1/2$. Точка $K(1, 1/2, 0)$.
• Ребро $BC$ ($y=1, z=0$): $2x+2(1)+3(0)=3 \implies x=1/2$. Точка $L(1/2, 1, 0)$.
• Ребро $AA_1$ ($x=1, y=0$): $2(1)+2(0)+3z=3 \implies z=1/3$. Обозначим эту точку $M(1, 0, 1/3)$.
• Ребро $CC_1$ ($x=0, y=1$): $2(0)+2(1)+3z=3 \implies z=1/3$. Обозначим эту точку $N(0, 1, 1/3)$.
• Плоскость проходит через вершину $D_1(0,0,1)$, которая лежит на ребрах $A_1D_1, C_1D_1, DD_1$.

Сечение представляет собой пятиугольник с вершинами $K, L, N, D_1, M$.

Построение на изображении куба:

1. Отмечаем точки $K$ на $AB$ и $L$ на $BC$. Соединяем их отрезком $KL$.
2. Проводим прямую $KL$ до пересечения с продолжениями ребер $DA$ и $DC$.
3. Соединяем полученные точки с точкой $D_1$. Эти прямые пересекут ребра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
4. Последовательно соединяем точки $K \rightarrow L \rightarrow N \rightarrow D_1 \rightarrow M \rightarrow K$. Полученный пятиугольник $KLND_1M$ и есть искомое сечение.

2. Нахождение площади сечения

Для вычисления площади пятиугольника $KLND_1M$ воспользуемся методом проекций. Площадь сечения $S_{сеч}$ связана с площадью его ортогональной проекции $S_{пр}$ на одну из координатных плоскостей формулой:

$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{|\cos\gamma|}$

где $\gamma$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Спроецируем сечение на плоскость $Oxy$. Нормальный вектор к плоскости $Oxy$ — это $\vec{k}=(0,0,1)$. Нормальный вектор к плоскости сечения $2x+2y+3z=3$ — это $\vec{n}=(2,2,3)$.

Найдем косинус угла между плоскостями:

$\cos\gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}{\sqrt{2^2+2^2+3^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{4+4+9} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{17}}$

Теперь найдем площадь проекции сечения на плоскость $Oxy$. Вершины проекции (обозначим их штрихом) получаются обнулением $z$-координаты вершин сечения:

$K'(1, 1/2)$, $L'(1/2, 1)$, $N'(0, 1)$, $D'_1(0, 0)$, $M'(1, 0)$.

Проекция $D'_1M'K'L'N'$ представляет собой единичный квадрат с вершинами в точках $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$, из которого вырезан небольшой треугольник в верхнем правом углу. Этот треугольник имеет вершины в точках $P(1,1)$, $K'(1, 1/2)$ и $L'(1/2, 1)$.

Площадь квадрата $S_{кв} = 1 \cdot 1 = 1$.

Площадь вырезаемого треугольника $PK'L'$ (он прямоугольный с катетами вдоль прямых $x=1$ и $y=1$):

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot |PK'| \cdot |PL'| = \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Площадь проекции $S_{пр}$ равна разности площадей квадрата и треугольника:

$S_{пр} = S_{кв} - S_{\triangle} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Наконец, находим площадь самого сечения:

$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{|\cos\gamma|} = \frac{7/8}{3/\sqrt{17}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$

Ответ: Сечением является пятиугольник, его площадь равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$.