Номер 22, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через вершины $B$, $C$ и середину ребра $SA$. Найдите его площадь.

Дано:

$SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида.
Длина всех ребер пирамиды равна 1 см.
Секущая плоскость проходит через вершины $B$, $C$ и точку $K$, которая является серединой ребра $SA$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Построение сечения
Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $B$, $C$ и $K$. Так как точки $B$ и $C$ принадлежат секущей плоскости, то отрезок $BC$ является стороной сечения. Аналогично, отрезок $BK$ также является стороной сечения. В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$, поэтому $AD \parallel BC$. Секущая плоскость пересекает плоскость основания $(ABC)$ по прямой $BC$. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость должна пересечь плоскость грани $(SAD)$, которая параллельна прямой $BC$, по прямой, параллельной $BC$. Проведем через точку $K$ в плоскости грани $(SAD)$ прямую, параллельную $AD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SD$ в точке $L$. Таким образом, $KL \parallel AD \parallel BC$. Поскольку $K$ — середина ребра $SA$ и $KL \parallel AD$, то по теореме Фалеса точка $L$ является серединой ребра $SD$. Соединяя точки $C$ и $L$, лежащие в одной плоскости грани $(SCD)$, получаем четвертую сторону сечения $CL$. Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $BCKL$.

Нахождение площади сечения
Поскольку $KL \parallel BC$, четырехугольник $BCKL$ является трапецией. Найдем длины ее сторон. Длина основания $BC$ по условию равна 1 см. Отрезок $KL$ является средней линией в треугольнике $SAD$, поэтому его длина равна половине длины основания $AD$: $KL = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см. Так как все ребра пирамиды равны 1 см, ее боковые грани (например, $SAB$ и $SCD$) являются равносторонними треугольниками со стороной 1 см. Отрезок $BK$ является медианой в равностороннем треугольнике $SAB$. Длина медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. При $a=1$ см, $BK = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Аналогично, $CL$ — медиана в равностороннем треугольнике $SCD$, поэтому ее длина также равна $CL = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Так как боковые стороны трапеции $BK$ и $CL$ равны, трапеция $BCKL$ является равнобедренной. Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. Проведем в трапеции высоту из вершины $K$ на основание $BC$. В равнобедренной трапеции отрезок, отсекаемый высотой на большем основании от вершины, равен полуразности оснований: $x = \frac{BC - KL}{2} = \frac{1 - 0.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4}$ см. Высоту $h$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $BK$ (гипотенуза), высотой $h$ и отрезком $x$ (катеты): $h^2 = BK^2 - x^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{1}{4})^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{16} = \frac{12}{16} - \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$. Отсюда $h = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4}$ см. Теперь можем вычислить площадь трапеции $BCKL$: $S_{BCKL} = \frac{BC + KL}{2} \cdot h = \frac{1 + 0.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{1.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3\sqrt{11}}{16}$ см$^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{11}}{16}$ см$^2$.