Номер 21, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AD$. Найдите его площадь.

Дано:
Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$
Ребро куба $a = 1$ (единичный куб)
Сечение проходит через точки $A_1$, $C_1$ и $M$ (середина ребра $AD$)

Найти:
Площадь сечения $S$.

Решение:
1. Построение сечения.
Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине D и осями, направленными вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$. В этой системе координат вершины единичного куба имеют следующие координаты: $A(1, 0, 0)$, $D(0, 0, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $A_1(1, 0, 1)$, $C_1(0, 1, 1)$.
Точка $M$ — середина ребра $AD$. Ее координаты: $M(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(1/2, 0, 0)$.
Секущая плоскость определена тремя точками: $A_1(1, 0, 1)$, $C_1(0, 1, 1)$ и $M(1/2, 0, 0)$.
Построим сечение, находя его следы на гранях куба:
- Точки $A_1$ и $M$ лежат в одной плоскости грани $ADD_1A_1$ ($y=0$). Соединяем их, получаем сторону сечения — отрезок $A_1M$.
- Точки $A_1$ и $C_1$ лежат в одной плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$). Соединяем их, получаем сторону сечения — отрезок $A_1C_1$.
- Плоскости верхней и нижней граней куба параллельны. Следовательно, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Это значит, что след сечения на нижней грани (плоскость $z=0$) будет параллелен отрезку $A_1C_1$.
- Проведем через точку $M$ в плоскости $ABCD$ прямую, параллельную $A_1C_1$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в некоторой точке $N$. Так как $A_1C_1$ параллельна диагонали $AC$, а $M$ — середина $AD$, то по теореме Фалеса (или из соображений подобия) точка $N$ будет серединой ребра $CD$.
Координаты точки $N$: $N(0, 1/2, 0)$.
- Соединяем точки $M$ и $N$, получаем сторону сечения $MN$.
- Точки $N$ и $C_1$ лежат в одной плоскости грани $CDD_1C_1$ ($x=0$). Соединяем их, получаем четвертую сторону сечения $NC_1$.
Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $A_1MNC_1$.

2. Определение вида четырехугольника и вычисление его площади.
По построению сторона $MN$ параллельна стороне $A_1C_1$. Значит, $A_1MNC_1$ — трапеция.
Найдем длины ее боковых (непараллельных) сторон $A_1M$ и $NC_1$ по теореме Пифагора:
Из прямоугольного треугольника $A_1AM$ (считая, что $A$ - проекция $A_1$ на нижнюю грань): $AA_1 = 1$, $AM = 1/2$.
$|A_1M| = \sqrt{AA_1^2 + AM^2} = \sqrt{1^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $C_1CN$ (считая, что $C$ - проекция $C_1$ на нижнюю грань): $CC_1 = 1$, $CN = 1/2$.
$|C_1N| = \sqrt{CC_1^2 + CN^2} = \sqrt{1^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Так как боковые стороны трапеции равны ($|A_1M| = |C_1N|$), трапеция $A_1MNC_1$ является равнобедренной.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.
- Длина основания $a = |A_1C_1|$. Это диагональ единичного квадрата, $a = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
- Длина основания $b = |MN|$. Это гипотенуза в прямоугольном треугольнике $MD'N$, где $D'$ - точка пересечения прямых $AD$ и $CD$, то есть $D$. $MD=1/2$, $DN=1/2$.
$b = \sqrt{MD^2 + DN^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4+1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Высоту $h$ равнобедренной трапеции найдем по формуле $h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$, где $c$ — длина боковой стороны.
$c = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$a-b = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$h = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}/2}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{4} - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{10}{8} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.
- Вычислим площадь сечения:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.