Номер 23, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через вершины $B, D$ и $E_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Ребро основания $a = 1$ см.

Боковое ребро (высота) $h = 1$ см.

Секущая плоскость проходит через вершины B, D, E₁.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.

а) Точки B и D лежат в плоскости нижнего основания ABCDEF. Соединим их отрезком. BD – это след секущей плоскости на плоскости нижнего основания.

б) Плоскости верхнего и нижнего оснований параллельны ($ABCDEF \parallel A_1B_1C_1D_1E_1F_1$). Следовательно, секущая плоскость пересекает плоскость верхнего основания по прямой, параллельной прямой BD.

в) В правильном шестиугольнике диагональ BD, соединяющая вершины через одну, параллельна диагонали AE. Аналогично, в верхнем основании диагональ $B_1D_1$ параллельна диагонали $A_1E_1$. Таким образом, $BD \parallel A_1E_1$.

г) Так как секущая плоскость проходит через точку E₁ и пересекает верхнее основание по прямой, параллельной BD, то этой прямой является $A_1E_1$.

д) Таким образом, мы получили четыре вершины сечения: B, D, E₁, A₁. Соединив их последовательно, получаем искомое сечение – четырехугольник $BDE_1A_1$.

2. Определение вида сечения и нахождение его площади.

а) В четырехугольнике $BDE_1A_1$ стороны BD и $A_1E_1$ параллельны по построению. Следовательно, $BDE_1A_1$ – трапеция.

б) Найдем длины оснований. Длину диагонали BD можно найти из треугольника BCD по теореме косинусов. В правильном шестиугольнике внутренний угол равен $120^\circ$, т.е. $\angle BCD = 120^\circ$. Стороны $BC = CD = a = 1$ см.

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

$BD = \sqrt{3}$ см.

Так как основания призмы равны, то $A_1E_1 = BD = \sqrt{3}$ см.

Поскольку основания трапеции равны ($BD = A_1E_1$), то $BDE_1A_1$ – параллелограмм.

в) Найдем длины боковых сторон. Сторона $DE_1$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $DEE_1$ (т.к. призма прямая, $EE_1 \perp DE$). Катеты $DE = a = 1$ см и $EE_1 = h = 1$ см.

$DE_1^2 = DE^2 + EE_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$DE_1 = \sqrt{2}$ см.

Аналогично, сторона $BA_1$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $BAA_1$. Катеты $AB = a = 1$ см и $AA_1 = h = 1$ см.

$BA_1^2 = AB^2 + AA_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$BA_1 = \sqrt{2}$ см.

г) Мы установили, что сечение $BDE_1A_1$ – это параллелограмм. Чтобы найти его площадь, нужно знать угол между смежными сторонами, например, $\angle BDE_1$. Проверим, не является ли этот угол прямым. Для этого введем систему координат.Поместим центр нижнего основания O в начало координат (0,0,0). Ось Ox направим вдоль OA. Тогда вершины будут иметь координаты:

$A(1, 0, 0)$

$B(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D(\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$E(\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Вершина E₁ имеет координаты $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DE_1}$:

$\vec{DB} = B - D = (\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{DB} \cdot \vec{DE_1} = (\frac{3}{2})(\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (0)(1) = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит $\angle BDE_1 = 90^\circ$.

Таким образом, сечение $BDE_1A_1$ является прямоугольником.

д) Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон:

$S_{сеч} = BD \cdot DE_1 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$ см².

Ответ: Площадь сечения равна $\sqrt{6}$ см².