Номер 20, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $A_1B_1$, $CD$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на $0,25$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Ребро куба $a = 1$

Сечение проходит через три точки:

1. Точка K на ребре AB, $AK = 0.25$

2. Точка M - середина ребра $A_1B_1$

3. Точка N - середина ребра $CD$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$

Решение:

1. Построение сечения

Для решения задачи введем трехмерную прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $A(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ - вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ - вдоль ребра $AA_1$. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Определим координаты заданных точек в этой системе:

- Точка $K$ лежит на ребре $AB$ (ось $Ox$) на расстоянии 0.25 от вершины $A$. Следовательно, ее координаты $K(0.25, 0, 0)$.

- Точка $M$ является серединой ребра $A_1B_1$. Координаты вершин $A_1(0, 0, 1)$ и $B_1(1, 0, 1)$. Координаты точки $M$ как середины отрезка: $M\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = M(0.5, 0, 1)$.

- Точка $N$ является серединой ребра $CD$. Координаты вершин $C(1, 1, 0)$ и $D(0, 1, 0)$. Координаты точки $N$: $N\left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = N(0.5, 1, 0)$.

Теперь построим сечение, проходящее через точки $K$, $M$ и $N$.

- Точки $K$ и $M$ лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$ (плоскость $y=0$). Поэтому отрезок $KM$ является одной из сторон сечения.

- Передняя грань $ABB_1A_1$ параллельна задней грани $DCC_1D_1$. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Значит, линия пересечения с задней гранью должна быть параллельна отрезку $KM$.

- Найдем вектор $\vec{KM}$: $\vec{KM} = (x_M - x_K, y_M - y_K, z_M - z_K) = (0.5 - 0.25, 0 - 0, 1 - 0) = (0.25, 0, 1)$.

- На задней грани $DCC_1D_1$ лежит точка $N$. Проведем через точку $N$ прямую, параллельную $KM$. Эта прямая пересечет одно из ребер задней грани в точке $P$. Вектор $\vec{NP}$ должен быть равен вектору $\vec{KM}$.

- Координаты точки $P$ можно найти, прибавив к координатам точки $N$ компоненты вектора $\vec{KM}$: $P = (x_N + 0.25, y_N + 0, z_N + 1) = (0.5 + 0.25, 1 + 0, 0 + 1) = (0.75, 1, 1)$.

- Убедимся, что точка $P(0.75, 1, 1)$ принадлежит кубу. Ее координаты удовлетворяют условиям $0 \le x \le 1$, $y = 1$, $z = 1$. Точка $P$ лежит на ребре $C_1D_1$. Соединяем точки $N$ и $P$ отрезком.

- Таким образом, мы получили все четыре вершины сечения: $K, M, P, N$. Соединяя их последовательно, получаем искомый четырехугольник $KMPN$. Отрезки $KN$ и $MP$ являются следами сечения на нижней и верхней гранях куба соответственно.

2. Нахождение площади сечения

Четырехугольник $KMPN$ является параллелограммом, так как по построению мы получили, что $\vec{KM}$ параллелен и равен $\vec{NP}$. Для полной уверенности найдем векторы двух других сторон:

$\vec{KN} = (x_N - x_K, y_N - y_K, z_N - z_K) = (0.5 - 0.25, 1 - 0, 0 - 0) = (0.25, 1, 0)$.

$\vec{MP} = (x_P - x_M, y_P - y_M, z_P - z_M) = (0.75 - 0.5, 1 - 0, 1 - 1) = (0.25, 1, 0)$.

Поскольку $\vec{KN} = \vec{MP}$, четырехугольник $KMPN$ действительно является параллелограммом.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равна модулю их векторного произведения. Возьмем векторы смежных сторон $\vec{KM} = (0.25, 0, 1)$ и $\vec{KN} = (0.25, 1, 0)$.

Вычислим их векторное произведение:

$\vec{S} = \vec{KM} \times \vec{KN} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0.25 & 0 & 1 \\ 0.25 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(0.25 \cdot 0 - 1 \cdot 0.25) + \vec{k}(0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0.25)$

$\vec{S} = -1\vec{i} + 0.25\vec{j} + 0.25\vec{k} = (-1, 0.25, 0.25)$.

Площадь сечения $S_{KMPN}$ равна модулю (длине) этого вектора:

$S_{KMPN} = |\vec{S}| = \sqrt{(-1)^2 + (0.25)^2 + (0.25)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{1 + \frac{2}{16}} = \sqrt{1 + \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$.

Упростим полученное выражение:

$S_{KMPN} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.