Номер 25, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через середины ребер $AD$, $BC$ и $SD$. Найдите его площадь.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны 1 см: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1 \text{ см}$.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки M, N, K, где:

M - середина ребра AD,

N - середина ребра BC,

K - середина ребра SD.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.

Обозначим заданные точки: M - середина AD, N - середина BC, K - середина SD.

- Точки M и N лежат в одной плоскости основания ABCD, поэтому мы можем соединить их отрезком MN. Так как ABCD - квадрат, а M и N - середины противоположных сторон AD и BC, то отрезок MN является средней линией квадрата. Следовательно, прямая MN параллельна прямым AB и CD, а длина отрезка MN равна длине стороны квадрата: $MN = AB = 1 \text{ см}$.

- Секущая плоскость содержит прямую MN. Прямая MN параллельна прямой CD, которая лежит в плоскости грани SCD. По свойству параллельности прямой и плоскости, секущая плоскость пересекает плоскость SCD по прямой, параллельной MN (и, следовательно, CD). Эта прямая должна проходить через точку K, которая также принадлежит грани SCD.

- Проведем в плоскости грани SCD через точку K прямую, параллельную CD. Эта прямая пересечет ребро SC в некоторой точке L. Поскольку K - середина ребра SD и прямая KL параллельна CD, то по теореме Фалеса точка L будет серединой ребра SC.

- Соединив последовательно точки M, N, L и K, мы получаем четырехугольник MNLK, который является искомым сечением.

2. Определение вида сечения и нахождение длин его сторон.

- Мы установили, что $MN \parallel KL$. Это означает, что четырехугольник MNLK является трапецией.

- Длина большего основания $MN = 1 \text{ см}$.

- Отрезок KL является средней линией треугольника SCD (так как K и L - середины сторон SD и SC). Следовательно, его длина равна половине длины основания CD: $KL = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5 \text{ см}$.

- Теперь найдем длины боковых сторон трапеции. Отрезок MK соединяет середины M и K ребер AD и SD соответственно. Значит, MK является средней линией треугольника SAD. Так как по условию все ребра пирамиды равны 1 см, грань SAD является равносторонним треугольником. Длина средней линии MK равна половине длины стороны SA: $MK = \frac{1}{2} SA = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5 \text{ см}$.

- Аналогично, отрезок NL соединяет середины N и L ребер BC и SC. Значит, NL является средней линией равностороннего треугольника SBC. Его длина равна: $NL = \frac{1}{2} SB = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5 \text{ см}$.

- Так как боковые стороны трапеции равны ($MK = NL = 0.5 \text{ см}$), то трапеция MNLK является равнобокой (равнобедренной).

3. Вычисление площади сечения.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, а $h$ - высота.

- Основания трапеции равны $MN = 1 \text{ см}$ и $KL = 0.5 \text{ см}$.

- Для нахождения высоты проведем из вершины K перпендикуляр KP на основание MN. В равнобокой трапеции длина отрезка MP, который высота отсекает от большего основания, равна полуразности оснований:

$MP = \frac{MN - KL}{2} = \frac{1 - 0.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 \text{ см}$.

- Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник KMP. Его гипотенуза $MK = 0.5 \text{ см}$, а катет $MP = 0.25 \text{ см}$. Найдем второй катет KP, который является высотой $h$ трапеции, по теореме Пифагора:

$h^2 = MK^2 - MP^2$

$h = \sqrt{MK^2 - MP^2} = \sqrt{(0.5)^2 - (0.25)^2} = \sqrt{0.25 - 0.0625} = \sqrt{0.1875}$.

- Упростим значение корня: $\sqrt{0.1875} = \sqrt{\frac{1875}{10000}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 625}{10000}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{625}}{\sqrt{10000}} = \frac{25\sqrt{3}}{100} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}$.

- Наконец, вычислим площадь трапеции MNLK:

$S_{MNLK} = \frac{MN+KL}{2} \cdot h = \frac{1 + 0.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{16} \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}}{16} \text{ см}^2$.