Номер 31, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

31. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через вершины А, В и $D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная.

Все ребра равны 1 см, то есть:

Ребро основания $a = 1 \text{ см}$.

Боковое ребро $h = 1 \text{ см}$.

Секущая плоскость проходит через точки $A, B, D_1$.

В системе СИ:

$a = 0.01 \text{ м}$

$h = 0.01 \text{ м}$

(Дальнейшие вычисления будут производиться в сантиметрах для удобства).

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.

Секущая плоскость определена тремя точками: $A$, $B$ и $D_1$.

Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости нижнего основания призмы ($ABCDEF$), поэтому отрезок $AB$ является одной из сторон сечения. Этот отрезок также является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания.

Так как призма правильная, её основания параллельны, то есть плоскость $(ABCDEF)$ параллельна плоскости $(A_1B_1C_1D_1E_1F_1)$.

По свойству параллельных плоскостей, если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с плоскостью верхнего основания должна быть параллельна прямой $AB$ и проходить через заданную точку $D_1$.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В таком шестиугольнике сторона $ED$ параллельна стороне $AB$. Соответственно, в верхнем основании сторона $E_1D_1$ параллельна стороне $A_1B_1$, которая, в свою очередь, параллельна $AB$. Таким образом, прямая $E_1D_1$ параллельна прямой $AB$.

Значит, линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием — это отрезок $E_1D_1$. Это означает, что точка $E_1$ также принадлежит сечению.

Итак, вершинами сечения являются точки $A, B, E_1, D_1$.

2. Определение вида сечения и вычисление его площади.

Чтобы определить форму четырехугольника $ABD_1E_1$, рассмотрим векторы, соединяющие его вершины. Удобно ввести систему координат с центром в центре нижнего основания $O$ и осью $Ox$, проходящей через вершину $A$. При стороне основания $a=1$ и высоте $h=1$ координаты вершин будут:

$A(1, 0, 0)$, $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D(-1, 0, 0)$, $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

$A_1(1, 0, 1)$, $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$, $D_1(-1, 0, 1)$, $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{E_1D_1}$:

$\vec{AB} = B - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

$\vec{E_1D_1} = D_1 - E_1 = (-1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 1) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Так как $\vec{AB} = \vec{E_1D_1}$, четырехугольник $ABD_1E_1$ является параллелограммом, его стороны — это $AB, BD_1, D_1E_1, E_1A$.

Найдем длины смежных сторон $AB$ и $BD_1$.

Длина стороны $AB$ равна ребру основания: $|AB| = 1 \text{ см}$.

Длину стороны $BD_1$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $BDD_1$ (он прямоугольный, так как призма прямая). Катет $DD_1 = 1 \text{ см}$ (высота призмы). Длину катета $BD$ (малой диагонали основания) найдем по теореме косинусов из треугольника $BCD$ в основании: $BC=1$, $CD=1$, $\angle BCD = 120^\circ$.

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.

$BD = \sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь из $\triangle BDD_1$:

$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

$BD_1 = 2 \text{ см}$.

Сечение является параллелограммом со сторонами 1 см и 2 см.

Проверим, является ли этот параллелограмм прямоугольником. Для этого нужно установить, перпендикулярны ли смежные стороны $AB$ и $BD_1$.

В плоскости основания рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны: $AB=1$, $BD=\sqrt{3}$. Сторона $AD$ является большой диагональю шестиугольника, ее длина равна удвоенной стороне основания: $AD=2$.

Проверим для $\triangle ABD$ выполнение теоремы Пифагора:

$AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$AD^2 = 2^2 = 4$.

Поскольку $AB^2 + BD^2 = AD^2$, по обратной теореме Пифагора $\triangle ABD$ — прямоугольный, и $\angle ABD = 90^\circ$. Это означает, что $AB \perp BD$.

Так как призма прямая, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $AB$. Итак, $DD_1 \perp AB$.

Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$) в плоскости $(BDD_1)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $(BDD_1)$.

Поскольку прямая $BD_1$ лежит в плоскости $(BDD_1)$, то $AB \perp BD_1$.

Параллелограмм $ABD_1E_1$, у которого смежные стороны перпендикулярны, является прямоугольником.

Площадь этого прямоугольника равна произведению длин его сторон:

$S_{сеч} = |AB| \cdot |BD_1| = 1 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 2 \text{ см}^2$.

Ответ: Сечением является прямоугольник $ABD_1E_1$, его площадь равна $2 \text{ см}^2$.