Номер 24, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD, B_1C_1$ и точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $B$ на $0,25$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$

Длина ребра куба $a = 1$ (единичный куб).

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через три точки:

• $P$ - середина ребра $AD$.
• $Q$ - середина ребра $B_{1}C_{1}$.
• $R$ - точка на ребре $BC$, такая что $BR = 0.25$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину $D$ в начало координат $(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DC$, ось $Oy$ вдоль ребра $DA$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_{1}$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

$D(0,0,0)$, $A(0,1,0)$, $B(1,1,0)$, $C(1,0,0)$

$D_{1}(0,0,1)$, $A_{1}(0,1,1)$, $B_{1}(1,1,1)$, $C_{1}(1,0,1)$

Теперь найдем координаты трех точек, задающих секущую плоскость.

1. Точка $P$ — середина ребра $AD$. Координаты $A(0,1,0)$ и $D(0,0,0)$.
   $P = (\frac{0+0}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 0.5, 0)$.
2. Точка $Q$ — середина ребра $B_{1}C_{1}$. Координаты $B_{1}(1,1,1)$ и $C_{1}(1,0,1)$.
   $Q = (\frac{1+1}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1, 0.5, 1)$.
3. Точка $R$ лежит на ребре $BC$ и $BR=0.25$. Координаты $B(1,1,0)$ и $C(1,0,0)$. Ребро $BC$ параллельно оси $Oy$. Движение от $B$ к $C$ — это уменьшение координаты $y$.
   $y_{R} = y_{B} - 0.25 = 1 - 0.25 = 0.75$.
   Координаты точки $R$ равны $(1, 0.75, 0)$.

Построение сечения

Сечение куба плоскостью является многоугольником. Мы уже знаем три его вершины $P$, $Q$, $R$. Найдем остальные вершины, находя точки пересечения секущей плоскости с ребрами куба.
Так как плоскость пересекает две параллельные грани куба, линии пересечения будут параллельны.
Грани $ADD_{1}A_{1}$ ($x=0$) и $BCC_{1}B_{1}$ ($x=1$) параллельны. Наша плоскость пересекает их по отрезкам $PS$ и $RQ$ соответственно, где $S$ - четвертая вершина сечения. Следовательно, $PS \parallel RQ$.
Аналогично, грани $ABCD$ ($z=0$) и $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ ($z=1$) параллельны, значит их линии пересечения с плоскостью, отрезки $PR$ и $SQ$, также должны быть параллельны ($PR \parallel SQ$).
Таким образом, сечение является параллелограммом $PRQS$.

Найдем координаты четвертой вершины $S$. Так как $PRQS$ — параллелограмм, должно выполняться векторное равенство $\vec{PS} = \vec{RQ}$.
Найдем вектор $\vec{RQ}$:
$\vec{RQ} = Q - R = (1-1, 0.5-0.75, 1-0) = (0, -0.25, 1)$.
Теперь найдем координаты точки $S$:
$S = P + \vec{RQ} = (0, 0.5, 0) + (0, -0.25, 1) = (0, 0.25, 1)$.
Проверим, лежит ли точка $S$ на каком-либо ребре куба. Координаты $S(0, 0.25, 1)$ означают, что $x=0$ и $z=1$. Это соответствует ребру $A_{1}D_{1}$. Так как $0 \le y_{S}=0.25 \le 1$, точка $S$ действительно лежит на ребре $A_{1}D_{1}$.
Итак, сечением является четырехугольник $PRQS$ с вершинами:
$P(0, 0.5, 0)$ на ребре $AD$.
$R(1, 0.75, 0)$ на ребре $BC$.
$Q(1, 0.5, 1)$ на ребре $B_{1}C_{1}$.
$S(0, 0.25, 1)$ на ребре $A_{1}D_{1}$.
Это и есть искомое сечение.

Нахождение площади

Площадь параллелограмма можно найти как модуль векторного произведения векторов, исходящих из одной вершины, например, $|\vec{PR} \times \vec{PS}|$.
Найдем векторы $\vec{PR}$ и $\vec{PS}$:
$\vec{PR} = R - P = (1-0, 0.75-0.5, 0-0) = (1, 0.25, 0)$.
$\vec{PS} = S - P = (0-0, 0.25-0.5, 1-0) = (0, -0.25, 1)$.

Заметим, что длины этих векторов равны:
$|\vec{PR}| = \sqrt{1^2 + 0.25^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.0625} = \sqrt{1.0625}$.
$|\vec{PS}| = \sqrt{0^2 + (-0.25)^2 + 1^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.
Поскольку смежные стороны параллелограмма равны, сечение является ромбом.
Площадь ромба можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_{1}d_{2}$, где $d_{1}$ и $d_{2}$ — длины диагоналей.

Диагоналями ромба $PRQS$ являются отрезки $PQ$ и $RS$. Найдем их векторы и длины.
$\vec{PQ} = Q - P = (1-0, 0.5-0.5, 1-0) = (1, 0, 1)$.
$d_{1} = |\vec{PQ}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\vec{RS} = S - R = (0-1, 0.25-0.75, 1-0) = (-1, -0.5, 1)$.
$d_{2} = |\vec{RS}| = \sqrt{(-1)^2 + (-0.5)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0.25 + 1} = \sqrt{2.25} = 1.5$.

Теперь вычислим площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1.5 = \frac{1.5\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $S_{сеч} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.