Номер 27, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через вершины $C, F$ и $E_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Сечение проходит через вершины $C, F, E_1$.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Для удобства дальнейшие вычисления будем проводить в сантиметрах.

1. Построение сечения.

Секущая плоскость проходит через три точки $C, F$ и $E_1$.

- Точки $C$ и $F$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Следовательно, отрезок $CF$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания и принадлежит сечению. $CF$ – это большая диагональ правильного шестиугольника.

- Точки $F$ и $E_1$ лежат в плоскости боковой грани $FEE_1F_1$. Следовательно, отрезок $FE_1$ также принадлежит сечению.

- Чтобы построить сечение полностью, найдем точки его пересечения с другими ребрами призмы. Можно показать, что плоскость $(CFE_1)$ пересекает ребро $DD_1$ в точке $D_1$. Таким образом, искомое сечение является четырехугольником $CFE_1D_1$.

2. Нахождение площади сечения.

Площадь четырехугольника $CFE_1D_1$ можно найти, разбив его диагональю на два треугольника и сложив их площади. Разобьем четырехугольник диагональю $FD_1$ на треугольники $\triangle CFD_1$ и $\triangle FE_1D_1$.

Найдем длины сторон этих треугольников, используя свойства правильной призмы и теорему Пифагора. Длина ребра призмы $a = 1$ см.

- $CF$: большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$. Ее длина равна $2a$.

$CF = 2 \cdot 1 = 2$ см.

- $CD_1$: гипотенуза в прямоугольном треугольнике $\triangle CC_1D_1$, где катеты $CC_1 = 1$ (высота призмы) и $C_1D_1 = 1$ (сторона основания).

$CD_1 = \sqrt{CC_1^2 + C_1D_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

- $FD_1$: гипотенуза в прямоугольном треугольнике $\triangle FF_1D_1$, где катет $FF_1 = 1$. Катет $F_1D_1$ является малой диагональю шестиугольника, ее длина $a\sqrt{3}$.

$FD_1 = \sqrt{FF_1^2 + F_1D_1^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ см.

- $FE_1$: диагональ боковой грани $FEE_1F_1$, которая является квадратом со стороной 1.

$FE_1 = \sqrt{FE^2 + EE_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

- $E_1D_1$: сторона верхнего основания.

$E_1D_1 = 1$ см.

Теперь вычислим площади треугольников.

- Площадь $\triangle CFD_1$. Треугольник имеет стороны $CF=2$, $CD_1=\sqrt{2}$, $FD_1=2$. Он равнобедренный. Проведем высоту $h_1$ из вершины $F$ к основанию $CD_1$. Высота также является медианой.

$h_1 = \sqrt{CF^2 - (\frac{CD_1}{2})^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{4 - \frac{2}{4}} = \sqrt{4 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$.

$S_{\triangle CFD_1} = \frac{1}{2} \cdot CD_1 \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot \frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см$^2$.

- Площадь $\triangle FE_1D_1$. Треугольник имеет стороны $FE_1=\sqrt{2}$, $E_1D_1=1$, $FD_1=2$. Найдем площадь по формуле Герона.

Полупериметр $p = \frac{1 + \sqrt{2} + 2}{2} = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}$.

$S_{\triangle FE_1D_1} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{2}}{2} (\frac{3+\sqrt{2}}{2}-1) (\frac{3+\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}) (\frac{3+\sqrt{2}}{2}-2)}$

$S_{\triangle FE_1D_1} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3-\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{2}}$

$S_{\triangle FE_1D_1} = \frac{1}{4} \sqrt{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$

$S_{\triangle FE_1D_1} = \frac{1}{4} \sqrt{(9-2)(2-1)} = \frac{1}{4} \sqrt{7 \cdot 1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ см$^2$.

- Общая площадь сечения $S_{сеч}$ равна сумме площадей двух треугольников:

$S_{сеч} = S_{\triangle CFD_1} + S_{\triangle FE_1D_1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} + \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{7}}{4}$ см$^2$.