Номер 34, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B_1$ и середины ребер $AD$, $CD$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный.

Секущая плоскость проходит через вершину $B_1$ и середины ребер $AD$ и $CD$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим начало координат в вершину $D(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ — вдоль $DC$, а ось $Oz$ — вдоль $DD_1$. Так как куб единичный, длина его ребра $a=1$.

Координаты точек, через которые проходит секущая плоскость:

1. Вершина $B_1$ имеет координаты $(1,1,1)$.

2. Середина ребра $AD$, обозначим ее $M$. Координаты $A(1,0,0)$ и $D(0,0,0)$, следовательно, $M = (\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, 0, 0)$.

3. Середина ребра $CD$, обозначим ее $N$. Координаты $C(0,1,0)$ и $D(0,0,0)$, следовательно, $N = (\frac{0+0}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, \frac{1}{2}, 0)$.

Построенное сечение является пятиугольником. Его вершинами являются точки $M$ и $N$, вершина $B_1$, а также точки пересечения секущей плоскости с ребрами $AA_1$ и $CC_1$. Описание построения и сам вид сечения позволяют перейти к расчету его площади.

Для нахождения площади сечения воспользуемся методом проекций. Площадь искомого сечения $S$ можно найти через площадь его ортогональной проекции $S_{xy}$ на плоскость $xy$ по формуле $S = \frac{S_{xy}}{|\cos\gamma|}$, где $\gamma$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью $xy$.

Сначала найдем уравнение плоскости сечения, проходящей через точки $M$, $N$ и $B_1$.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости: $\vec{MN} = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ и $\vec{MB_1} = (\frac{1}{2}, 1, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости найдем как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{MN} \times \vec{MB_1} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$. Умножим на 4 для удобства: $\vec{n'} = (2, 2, -3)$.

Уравнение плоскости: $2x + 2y - 3z + D = 0$. Подставив точку $B_1(1,1,1)$, получим $2(1) + 2(1) - 3(1) + D = 0$, откуда $D=-1$. Уравнение плоскости: $2x + 2y - 3z - 1 = 0$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения (нормаль $\vec{n}=(2,2,-3)$) и плоскостью $xy$ (нормаль $\vec{k}=(0,0,1)$):

$|\cos\gamma| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{||\vec{n}|| \cdot ||\vec{k}||} = \frac{|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + (-3) \cdot 1|}{\sqrt{2^2+2^2+(-3)^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{4+4+9} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Далее найдем площадь проекции сечения на плоскость $xy$. Проекция сечения — это многоугольник на плоскости $z=0$, который является основанием куба (квадратом $ABCD$) за вычетом треугольника $DMN$.

Площадь основания $S_{ABCD} = 1^2 = 1$.

Площадь прямоугольного треугольника $DMN$ с катетами $DM=1/2$ и $DN=1/2$ равна $S_{\triangle DMN} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Площадь проекции сечения: $S_{xy} = S_{ABCD} - S_{\triangle DMN} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Наконец, находим площадь самого сечения:

$S_{сеч} = \frac{S_{xy}}{|\cos\gamma|} = \frac{7/8}{3/\sqrt{17}} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$.